Selisih dua bilangan positif adalah 5, sedangkan kuadratnya 2100 kurangnya dari kuadrat jumlah kedua bilangan itu. Berapakah jumlah kedua bilangan tersebut?
Selamat Mencoba!
28 Oktober 2008
26 Oktober 2008
Ketika Dakon Menjadi Alat Peraga Matematika
Setiap kali digelar pelajaran Matematika, para siswa kelas IV, V, dan VI SD Negeri Tuyuhan, Desa Tuyuhan, Kecamatan Pancur, Kabupaten Rembang, Jawa Tengah, selalu siap di kelas. Bahkan mereka antusias.
Mereka tak lagi takut dengan pelajaran Matematika terutama dalam menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dan soal kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Bagian ini menuntut kemampuan seseorang membayangkan sesuatu.
Pembelajaran itu dibuat agar menyenangkan. ”Pokoknya, yang kalah harus menggendong yang menang loh, ya,” kata Miratus Solikah kepada Naimatul Badiah, Selasa (23/9).
Setelah suit, kedua siswi Kelas VI SD Negeri Tuyuhan itu segera memainkan alat permainan tradisional yang disebut dakon itu. Alat itu terbuat dari tripleks sepanjang sekitar 100 sentimeter dan lebar 25 sentimeter.
Di badan tripleks itu terdapat 75 lubang kecil yang terbagi menjadi tiga baris menjadi 25 lubang pada setiap baris. Di atas setiap lubang di barisan teratas dituliskan angka 1-25.
Adapun di bawah baris terakhir terdapat tiga lubang besar untuk wadah biji dakon yang biasanya dari biji pohon asem, sawo, dan batu kerikil atau kapur. Lubang-lubang itu terbuat dari bekas wadah agar-agar atau jeli, penganan anak-anak.
”Kami menyebut alat peraga itu sebagai dakon FPB dan KPK lantaran alat itu bisa digunakan untuk menghitung bilangan-bilangan itu tanpa membuat deret dan pohon faktor,” kata guru SD kelas V SD Negeri Tuyuhan Dwi Kartikasasi di Rembang.
Ia mengatakan, alat peraga itu dibuat Slamet, salah seorang pengajar di SD Tuyuhan. Alat itu bisa dibuat sesuai kebutuhan bilangan yang mau dihitung dengan cara menambah lubang, baik yang memanjang maupun yang membujur.
Cara memainkannya adalah dengan meletakkan biji-biji dakon satu per satu di lubang dakon sesuai dengan kelipatan atau perkalian faktor.
Syaratnya, siswa harus hafal kelipatan dan perkalian yang sudah diajarkan di kelas IV.
Misalnya, untuk menentukan KPK 2 dan 3, siswa harus meletakkan biji dakon sejumlah kelipatan 2 di lubang-lubang baris pertama sesuai nomor lubang dakon dan kelipatan dua, yaitu 2, 4, 6, 8, dan seterusnya.
Saat menjabarkan kelipatan 3, siswa menaruh biji dakon di lubang-lubang baris kedua sesuai nomor lubang dakon dan kelipatan 3, yaitu 3, 6, 9, 12, dan seterusnya.
”Dari baris lubang pertama dan kedua, siswa bisa menentukan KPK dengan melihat biji dakon yang letaknya satu kolom atau berada pada nomor lubang dakon yang sama,” kata dia.
Miratus Solikah dan Naimatul Badiah mengaku terbantu memahami pelajaran itu. Namun, alat itu masih terbatas lantaran tidak bisa untuk menghitung FPB dan KPK lebih dari 50.
”Kalaupun bisa, dakon harus dibuat panjang dengan 50 lubang. Tangan kami jadi tak sampai nanti,” kata Solikah sambil tersenyum. Apa pun kekurangannya, setidaknya Slamet telah membuat inovasi demi kemajuan anak didik.... (HENDRIYO WIDI)
Sumber: KOMPAS/ALBERTUS HENDRIYO WIDI
Selasa, 14 Oktober 2008 | 17:30 WIB
25 Oktober 2008
Batik dan Matematika [Part 2]
BATIK WUJUD KOMPLEKSITAS SOSIAL
Oleh YUN HARIADI
Sering sebuah karya seni secara tidak sengaja menggunakan konsep matematika canggih yang baru dipahami beberapa abad kemudian. Seni dan matematika berkembang dengan berpijak pada pemikiran dengan segala keterbatasan dan kreativitasnya.
Konsep matematika harus logis, sementara seni tidak harus
demikian. Seni bisa berkembang demikian liar menembus batas logika
saat itu. Maka, tidak aneh jika matematika tertatih-tatih dan butuh
waktu cukup lama untuk memahami seni dalam konsep logikanya. Misalnya,
pada seni dekoratif Islam abad pertengahan yang ternyata menggunakan
geometri canggih (decagonal quasicrystal geometry) yang baru bisa
dipahami oleh matematikawan di era 70-an, pada jurnal ilmiah, atau
pada karya-karya Escher yang sampai saat ini susah untuk dipahami.
Bagaimana dengan batik? Adakah konsep matematika canggih pada
batik? Hasil penelitian yang dilakukan penulis dan rekan-rekan yang
diterbitkan dalam proceeding Generative X di Milan Italia (Pixel
People Project, "Batik Fractal: Traditional Art to Modern Complexity")
dan Journal of Social Complexity 2008 Bandung Fe Institute menunjukkan
kehadiran fraktal dalam batik.
Fraktal dan teori khaos
Istilah fraktal kali pertama dipopulerkan oleh Benoît Mandelbrot-
kemudian disebut sebagai Bapak Fraktal-pada pertengahan 70-an. Fraktal
merupakan konsep matematika yang membahas kesamaan pola pada semua
skala. Secara sederhana kehadiran fraktal ditandai dengan adanya
perulangan pola atau kesamaan diri (self-similarity) pada skala yang
berbeda-beda atas suatu obyek.
Contoh sederhana adalah segitiga Sierpinski. Pada segitiga ini,
setiap bagian segitiga di dalamnya memiliki kesamaan pola dengan
segitiga lainnya. Pohon cemara merupakan contoh sederhana hadirnya
fraktal di alam. Segitiga Sierpinski dan pohon cemara merupakan contoh
sempurna hadirnya fraktal. Kesamaan pola dan skala yang berbeda-beda
merupakan unsur penting dalam fraktal.
Perkembangan teknologi komputer telah memberikan sumbangan sangat
besar pada kelahiran fraktal. Perhitungan kesamaan pola pada skala
yang berbeda-beda makin tepat. Fraktal atau kesamaan pola pada skala
yang berbeda-beda menjadi begitu penting karena fraktal merupakan
tanda keteraturan dalam ketidakteraturan (khaos) dalam suatu sistem
yang bersifat khaos.
Suatu keadaan bersifat khaos jika sangat sensitif pada kondisi
awal. Pemeo yang begitu terkenal pada teori khaos misalnya "Kepakan
sayap kupu di Jakarta menyebabkan badai tornado di Texas".
Sebelum teori khaos ditemukan, kondisi khaos disamakan dengan
kondisi acak yang tanpa aturan, tanpa struktur, dan mustahil dibuat
model matematikanya. Namun setelah penemuan teori khaos kita paham
bahwa dalam sistem yang kompleks, tak-linier, dan sangat sensitif pada
kondisi awal ternyata terdapat tanda keteraturan dalam
ketidakteraturan, yaitu fraktal.
Dimensi fraktal
Geometri fraktal berbeda dengan geometri Euclidean yang kita kenal
selama ini. Geometri Euclidean hanya mampu mengelompokkan benda-benda
ke dalam dimensi bilangan bulat. Misalnya, kubus merupakan benda
berdimensi 3 (panjang-lebar-tinggi), gambar bujur sangkar berdimensi 2
(panjang-lebar), garis lurus berdimensi 1 (panjang). Geometri fraktal
menerima obyek berdimensi pecahan, misalnya 1,5 atau 2,75.
Menggunakan penggaris dimensi fraktal, maka tingkat fraktal suatu
benda bisa dibandingkan. Makin bernilai pecahan dimensi fraktal suatu
benda, maka makin tinggi pula tingkat fraktal benda tersebut.
Hasil perhitungan dimensi fraktal pada batik dengan sampel 200
motif menunjukkan bahwa batik memiliki dimensi fraktal 1,5. Sebagai
pembanding, yaitu lukisan kubisme Picasso, 1889-1930, yang memiliki
dimensi fraktal 3 (bilangan bulat). Hal ini menunjukkan batik memiliki
tingkat fraktal yang tinggi.
Sedangkan lukisan kubisme Picasso, sesuai kenyataan bahwa kubisme
adalah aliran lukisan yang menyederhanakan obyek ke dalam bentuk
silinder, kerucut, kubus, maupun bola-yaitu benda-benda berdimensi 3.
Dimensi permukaan lukisan kubisme dan batik pada semua sudut, dari 0°-
360° derajat.
Kubisme taat dengan dimensi 3, sedangkan batik taat dengan dimensi
1,5. Ini menunjukkan motif batik tidak cukup digambarkan oleh benda
berdimensi 1, namun berlebihan jika digambarkan oleh benda berdimensi
2.
Faktor yang berperan besar menghadirkan fraktal pada batik adalah
teknik dekorasi yang berhubungan dengan makna simbolis pada batik,
yaitu isen, yaitu mengisi motif besar dengan motif kecil tertentu. Ini
sesuai-mirip dengan kesamaan-diri pada fraktal meski tidak sesempurna
segitiga Sierpinski.
Proses isen, menurut Haldani, ahli batik tradisional dari Institut
Teknologi Bandung, merupakan upaya penyempurnaan dan memberi makna
obyek keseluruhan. Isen dalam batik motif semu riris merupakan motif
kecil dalam motif besar.
Kompleksitas sosial
Batik muncul sebagai hasil interaksi antarmanusia
denganlingkungannya. Manusia memahami alam lingkungan dan
menerjemahkannya dengan melukis dengan teknik batik. Obyek batik
merupakan benda-benda di alam-berdimensi 3 (pohon, hewan) yang
sebagian besar memiliki makna simbolis tertentu.
Dinamika masyarakat dan lingkungannya jelas berpengaruh pada
batik. Kebudayaan- kebudayaan besar (Hindu, Islam, kolonial Belanda,
Jepang, Kemerdekaan, Orba) berpengaruh pada corak, warna, dan motif
pada batik, namun batik mampu mempertahankan dimensi fraktalnya pada
sekitar 1,5. Ini menunjukkan adanya aturan da- sar dalam batik sendiri
yang sedemikian sehingga dimensi fraktal batik tetap pada nilai
sekitar 1,5.
Interaksi antara manusia dan lingkungan dalam menghasilkan batik
merupakan interaksi tak-linier, melibatkan banyak faktor yang saling
berkaitan, seperti teknologi (canting, lilin, pewarna), budaya
(simbolisme), kepercayaan (mistisme), ekonomi, dan geografi.
Kehadiran fraktal dalam batik merupakan wujud adanya kompleksitas
sosial dalam batik sehingga untuk memahami batik harus melihat faktor
teknologi, budaya, kepercayaan, ekonomi, geografi secara bersama-sama.
Kompleksitas sosial lainnya yang ditandai oleh kehadiran fraktal
misalnya evolusi sebuah kota. Hasil penelitian Profesor Michael Batty,
diterbitkan dalam jurnal Science, menunjukkan, kota merupakan sistem
kompleks yang melibatkan faktor ekonomi, sosial, hingga perubahan
iklim. Faktor-faktor tersebut berpengaruh pada ukuran, skala, dan
bentuk sebuah kota sehingga juga membutuhkan geometri fraktal.
YUN HARIADI
Peneliti Kompleksitas Sosial Pixel People Project
***
Isen dalam batik motif semu riris merupakan motif kecil dalam motif
besar. Hal ini mirip dengan kesamaan-diri pada fraktal. Kesamaan-diri
ini meskipun jauh sempurna dibandingkan dengan segitiga Sierpinski dan
pohon cemara, namun berkontribusi pada pembentukan pola fraktal.
Kesamaan-diri tidak harus diukur berdasarkan kesamaan secara visual,
namun bisa diukur pada sifat-sifat statistikanya.
***
Segitiga Sierpinski dan pohon cemara merupakan contoh sempurna
hadirnya fraktal.
Kompas, 10 Maret 2008
Oleh YUN HARIADI
Sering sebuah karya seni secara tidak sengaja menggunakan konsep matematika canggih yang baru dipahami beberapa abad kemudian. Seni dan matematika berkembang dengan berpijak pada pemikiran dengan segala keterbatasan dan kreativitasnya.Konsep matematika harus logis, sementara seni tidak harus
demikian. Seni bisa berkembang demikian liar menembus batas logika
saat itu. Maka, tidak aneh jika matematika tertatih-tatih dan butuh
waktu cukup lama untuk memahami seni dalam konsep logikanya. Misalnya,
pada seni dekoratif Islam abad pertengahan yang ternyata menggunakan
geometri canggih (decagonal quasicrystal geometry) yang baru bisa
dipahami oleh matematikawan di era 70-an, pada jurnal ilmiah, atau
pada karya-karya Escher yang sampai saat ini susah untuk dipahami.
Bagaimana dengan batik? Adakah konsep matematika canggih pada
batik? Hasil penelitian yang dilakukan penulis dan rekan-rekan yang
diterbitkan dalam proceeding Generative X di Milan Italia (Pixel
People Project, "Batik Fractal: Traditional Art to Modern Complexity")
dan Journal of Social Complexity 2008 Bandung Fe Institute menunjukkan
kehadiran fraktal dalam batik.
Fraktal dan teori khaos
Istilah fraktal kali pertama dipopulerkan oleh Benoît Mandelbrot-
kemudian disebut sebagai Bapak Fraktal-pada pertengahan 70-an. Fraktal
merupakan konsep matematika yang membahas kesamaan pola pada semua
skala. Secara sederhana kehadiran fraktal ditandai dengan adanya
perulangan pola atau kesamaan diri (self-similarity) pada skala yang
berbeda-beda atas suatu obyek.
Contoh sederhana adalah segitiga Sierpinski. Pada segitiga ini,
setiap bagian segitiga di dalamnya memiliki kesamaan pola dengan
segitiga lainnya. Pohon cemara merupakan contoh sederhana hadirnya
fraktal di alam. Segitiga Sierpinski dan pohon cemara merupakan contoh
sempurna hadirnya fraktal. Kesamaan pola dan skala yang berbeda-beda
merupakan unsur penting dalam fraktal.
Perkembangan teknologi komputer telah memberikan sumbangan sangat
besar pada kelahiran fraktal. Perhitungan kesamaan pola pada skala
yang berbeda-beda makin tepat. Fraktal atau kesamaan pola pada skala
yang berbeda-beda menjadi begitu penting karena fraktal merupakan
tanda keteraturan dalam ketidakteraturan (khaos) dalam suatu sistem
yang bersifat khaos.
Suatu keadaan bersifat khaos jika sangat sensitif pada kondisi
awal. Pemeo yang begitu terkenal pada teori khaos misalnya "Kepakan
sayap kupu di Jakarta menyebabkan badai tornado di Texas".
Sebelum teori khaos ditemukan, kondisi khaos disamakan dengan
kondisi acak yang tanpa aturan, tanpa struktur, dan mustahil dibuat
model matematikanya. Namun setelah penemuan teori khaos kita paham
bahwa dalam sistem yang kompleks, tak-linier, dan sangat sensitif pada
kondisi awal ternyata terdapat tanda keteraturan dalam
ketidakteraturan, yaitu fraktal.
Dimensi fraktal
Geometri fraktal berbeda dengan geometri Euclidean yang kita kenal
selama ini. Geometri Euclidean hanya mampu mengelompokkan benda-benda
ke dalam dimensi bilangan bulat. Misalnya, kubus merupakan benda
berdimensi 3 (panjang-lebar-tinggi), gambar bujur sangkar berdimensi 2
(panjang-lebar), garis lurus berdimensi 1 (panjang). Geometri fraktal
menerima obyek berdimensi pecahan, misalnya 1,5 atau 2,75.
Menggunakan penggaris dimensi fraktal, maka tingkat fraktal suatu
benda bisa dibandingkan. Makin bernilai pecahan dimensi fraktal suatu
benda, maka makin tinggi pula tingkat fraktal benda tersebut.
Hasil perhitungan dimensi fraktal pada batik dengan sampel 200
motif menunjukkan bahwa batik memiliki dimensi fraktal 1,5. Sebagai
pembanding, yaitu lukisan kubisme Picasso, 1889-1930, yang memiliki
dimensi fraktal 3 (bilangan bulat). Hal ini menunjukkan batik memiliki
tingkat fraktal yang tinggi.
Sedangkan lukisan kubisme Picasso, sesuai kenyataan bahwa kubisme
adalah aliran lukisan yang menyederhanakan obyek ke dalam bentuk
silinder, kerucut, kubus, maupun bola-yaitu benda-benda berdimensi 3.
Dimensi permukaan lukisan kubisme dan batik pada semua sudut, dari 0°-
360° derajat.
Kubisme taat dengan dimensi 3, sedangkan batik taat dengan dimensi
1,5. Ini menunjukkan motif batik tidak cukup digambarkan oleh benda
berdimensi 1, namun berlebihan jika digambarkan oleh benda berdimensi
2.
Faktor yang berperan besar menghadirkan fraktal pada batik adalah
teknik dekorasi yang berhubungan dengan makna simbolis pada batik,
yaitu isen, yaitu mengisi motif besar dengan motif kecil tertentu. Ini
sesuai-mirip dengan kesamaan-diri pada fraktal meski tidak sesempurna
segitiga Sierpinski.
Proses isen, menurut Haldani, ahli batik tradisional dari Institut
Teknologi Bandung, merupakan upaya penyempurnaan dan memberi makna
obyek keseluruhan. Isen dalam batik motif semu riris merupakan motif
kecil dalam motif besar.
Kompleksitas sosial
Batik muncul sebagai hasil interaksi antarmanusia
denganlingkungannya. Manusia memahami alam lingkungan dan
menerjemahkannya dengan melukis dengan teknik batik. Obyek batik
merupakan benda-benda di alam-berdimensi 3 (pohon, hewan) yang
sebagian besar memiliki makna simbolis tertentu.
Dinamika masyarakat dan lingkungannya jelas berpengaruh pada
batik. Kebudayaan- kebudayaan besar (Hindu, Islam, kolonial Belanda,
Jepang, Kemerdekaan, Orba) berpengaruh pada corak, warna, dan motif
pada batik, namun batik mampu mempertahankan dimensi fraktalnya pada
sekitar 1,5. Ini menunjukkan adanya aturan da- sar dalam batik sendiri
yang sedemikian sehingga dimensi fraktal batik tetap pada nilai
sekitar 1,5.
Interaksi antara manusia dan lingkungan dalam menghasilkan batik
merupakan interaksi tak-linier, melibatkan banyak faktor yang saling
berkaitan, seperti teknologi (canting, lilin, pewarna), budaya
(simbolisme), kepercayaan (mistisme), ekonomi, dan geografi.
Kehadiran fraktal dalam batik merupakan wujud adanya kompleksitas
sosial dalam batik sehingga untuk memahami batik harus melihat faktor
teknologi, budaya, kepercayaan, ekonomi, geografi secara bersama-sama.
Kompleksitas sosial lainnya yang ditandai oleh kehadiran fraktal
misalnya evolusi sebuah kota. Hasil penelitian Profesor Michael Batty,
diterbitkan dalam jurnal Science, menunjukkan, kota merupakan sistem
kompleks yang melibatkan faktor ekonomi, sosial, hingga perubahan
iklim. Faktor-faktor tersebut berpengaruh pada ukuran, skala, dan
bentuk sebuah kota sehingga juga membutuhkan geometri fraktal.
YUN HARIADI
Peneliti Kompleksitas Sosial Pixel People Project
***
Isen dalam batik motif semu riris merupakan motif kecil dalam motif
besar. Hal ini mirip dengan kesamaan-diri pada fraktal. Kesamaan-diri
ini meskipun jauh sempurna dibandingkan dengan segitiga Sierpinski dan
pohon cemara, namun berkontribusi pada pembentukan pola fraktal.
Kesamaan-diri tidak harus diukur berdasarkan kesamaan secara visual,
namun bisa diukur pada sifat-sifat statistikanya.
***
Segitiga Sierpinski dan pohon cemara merupakan contoh sempurna
hadirnya fraktal.
Kompas, 10 Maret 2008
24 Oktober 2008
Batik dan Matematika [Part 1]
Batik ternyata tidak melulu berkaitan dengan seni tradisional. Selama ini kita hanya mengenal batik tulis dan batik cap dengan proses pengerjaan murni buatan tangan.Namun ternyata, dengan hitungan matematika motif batik dapat dibuat dengan mudah lewat komputer. Hasilnya, motif batik dapat dibuat dengan waktu relatif cepat, dan mudah diperbanyak. Tak hanya itu, selain bisa diaplikasikan di selembar kain, motif batik buatan komputer ini juga bisa diaplikasikan di media kayu dan akrilik.
Tiga serangkai asal Bandung , Muhammad Lukman, Nancy Margried Panjaitan, dan Yun Hariadi mencoba "memodernkan" batik. Setelah melalui penelitian yang panjang sejak tahun 2007, mereka pun meluncurkan batik fraktal, suatu batik dengan desain geometri yang terus berulang, pada Mei silam di Bandung.
Menurut Head of Business Pixel People Project Research & Design Nancy Margried Panjaitan, semula mereka bertiga hanya teman ngobrol di sela-sela acara desain dan mode yang banyak digelar di Bandung. Akhirnya mereka bertiga membentuk kelompok kerja yang bernama Pixel People Project tahun 2007 lalu. Selain batik fraktal, mereka menghasilkan karya, seperti robot, desain gedung dan sebagainya. "Kami tak memiliki satu pemimpin dan tak memiliki kantor," tutur Nancy.
Mereka menganut konsep mobile office. Untuk mengerjakan sesuatu, mereka cukup mengkoordinasikan pekerjaan lewat alat komunikasi dan bertemu muka sesekali saja.
Ketika mendirikan usaha, mereka bertiga harus banyak bertaruh. Nancy dan Luki rela meninggalkan pekerjaan lamanya sebagai karyawan dan berpindah menjadi pengusaha. Modal awal senilai Rp 20 juta berasal dari membobol tabungan masing-masing, sebagian besar dihabiskan untuk penelitian. Tak sampai satu tahun perusahaan bisa menutup modal usaha. Maklum, mereka membanderol produknya dengan harga tinggi, yakni antara Rp 500.000 dan Rp 20 juta per lembar kain batik.
Di tengah penelitian mereka tentang motif batik, mereka bertiga sempat diundang untuk mempresentasikan penemuannya dalam 10th Generative Art Conference, Politecnico, di Milan, Italia, Desember 2007 lalu.
Semenjak batik fraktal diluncurkan mereka mendapat dukungan dari Kementerian Riset dan Teknologi. Tiga serangkai ini kemudian ditawari untuk melakukan pameran, Mei 2008. Semua kegiatan selama pameran berlangsung disponsori oleh Kementerian Riset dan Teknologi
Karena usia batik fraktal yang baru tiga bulan, Nancy mengatakan usaha ini masih dalam situasi yang menantang. Mereka kesulitan mencari investor untuk menanam modalnya dalam pemasaran dan pengembangan produk ini. Sejak tahun lalu, mereka telah mengajukan sejumlah proposal pendanaan tambahan ke sejumlah perusahaan.
Namun, konsep ini belum diapresiasi dengan baik oleh para pemodal. Alasan mereka, tutur Nancy, inovasi ini belum teruji sehingga terlalu beresiko untuk dibantu secara permodalan. "Menurut saya itulah resiko sebuah inovasi baru. Tapi kami terus mengembangkan karya kami dan terus mencari investor yang sesuai untuk usaha ini," kata Nancy.
Menristek pemakai batik fraktal pertamaUntuk memasarkan usaha batik fraktalnya, mereka melakukan bermacam jurus. Selain lewat pameran, penjualan juga dilakukan secara personal, made to order, pemesanan khusus, pemasaran lewat internet, dan bekerja sama dengan beberapa desainer dan butik fesyen yang ada di Jakarta. "Hingga saat ini, pembeli kain batik fraktal kebanyakan pemakai perorangan," tutur Nancy.
Bahkan, hingga kini Menteri Ristek Kusmayanto Kadiman merupakan salah satu pelanggan setia batik fraktal ini. Ungkap Nancy, "Menristek adalah orang pertama yang memakai kemeja batik fraktal di hadapan publik lho."
Kini, selain membatik di atas kain, mereka juga membatik di atas media kayu dan akrilik. Bedanya, jika biasanya mereka menggunakan canting untuk menggambar motif batik fraktal di atas kain, maka untuk media kayu dan akrilik ini mereka menggunakan laser.
"Rencananya, batik fraktal akan dikembangkan dalam industri interior, furnitur, sepatu dan berbagai industri lainnya," kata Nancy.
Sumber: Kompas, Rabu, 10 September 2008 | 09:06 WIB
23 Oktober 2008
Matematika Di Sekolah Terbatas
Matematika di Sekolah Terbatas
Keberadaan Kursus Sangat Membantu Siswa
Pembelajaran Matematika di sekolah sangat terbatas sehingga kebutuhan anak terhadap Matematika belum seluruhnya terpenuhi. Keberadaan kursus-kursus Matematika seperti Kumon, Sakamoto, Jarimatika, dan yang lainnya menjadi sarana yang membantu anak belajar.
Seperti diwartakan sebelumnya, semakin banyak berdiri lembaga kursus yang sebagian merupakan waralaba dari negara lain. Lembaga kursus tersebut menawarkan berbagai metode pembelajaran Matematika alternatif, seperti Sakamoto, Kumon, Jarimatika, dan lain-lain.
Ketua Asosiasi Guru Matematika Indonesia, Firman, mengatakan, pola pembelajaran Matematika di sekolah diakui masih kurang menyenangkan bagi anak. Hal itu dikarenakan pembelajaran Matematika di sekolah seolah- olah direduksi hanya persoalan hitung-menghitung.
”Banyak anak yang mengartikan belajar Matematika itu menghafal rumus dan menghitungnya, kemudian selesai. Aktivitas yang bersifat mekanistik tersebut membosankan anak. Padahal, belajar Matematika ialah bagaimana anak dengan informasi yang dia bangun mampu menyelesaikan permasalahan,” ujarnya.
Prinsipnya adalah pembangunan pola pikir anak dalam memecahkan masalah.
Hanya saja, dengan adanya sistem evaluasi yang dibangun pemerintah sekarang, mulai dari ulangan umun, ujian nasional (UN), dan seleksi masuk perguruan tinggi negeri semuanya kemudian mengarah ke pola mekanistis. Guru juga sibuk mempersiapkan murid agar siap menghadapi berbagai ujian tersebut dengan drilling berlatih menjawab soal dengan benar dan cepat.
Abdul Hakim Gani, guru Matematika SMAN 17 Jakarta dan pengajar di sejumlah sekolah swasta, mengatakan hal senada.
Belajar kreatif
Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) sebetulnya memberikan kesempatan kepada pembelajaran kreatif. ”Kesulitannya ialah adanya tuntutan berbagai ujian, sehingga larinya malah ke arah keterampilan. Tuntutan kurikulum malah sulit dipenuhi,” ujarnya.
KTSP yang disusun oleh guru sendiri sebetulnya menawarkan konsep agar anak berkembang menurut tingkat kemampuannya sendiri sehingga dimungkinkan percepatan atau remedial. Terutama remedial yang sangat penting dalam pembelajaran Matematika.
Dia berpendapat, jika anak belajar pada level pengetahuannya, anak tidak akan terlalu takut terhadap Matematika. ”Kalau anak belajar tidak sesuai dengan levelnya, anak ketakutan dan terjadi penumpukan materi yang tidak dikuasai,” katanya.
Sumarsono, guru SMPN 89 Jakarta Barat, berpendapat, belajar Matematika seharusnya diawali dengan pemberian motivasi. Guru, terutama, harus dapat menggambarkan kepada anak didiknya manfaat belajar Matematika dalam kehidupan.
”Saya selalu menekankan kepada para murid, sadar atau tidak, mereka membutuhkan pelajaran tersebut,” ujarnya. Belajar Matematika juga dimulai dengan hal yang mudah dan beranjak ke materi lebih sulit.
Keberadaan kursus
Firman berpendapat, masih perlu diteliti lagi apakah keikutsertaan anak di lembaga kursus yang menyajikan metode Matematika alternatif tersebut berpengaruh kepada prestasi di bidang Matematika.
”Tetapi, berdasarkan pengalaman saya mengajar selama ini di sekolah menengah atas, biasanya anak yang kursus mempunyai keterampilan berhitung sangat baik. Mereka lebih mudah melihat pola-pola dalam belajar Matematika,” ujarnya.
Kelebihan lain dari kemampuan menghitung cepat itu adalah anak cenderung bermotivasi dan bersemangat belajar Matematika. ”Itu karena mereka mampu menyelesaikan soal sulit dalam waktu cepat sehingga muncul rasa percaya diri,” ujarnya.
Hal senada diungkapkan Abdul Gani. ”Biasanya, terlihat perbedaan pada kemampuan awalnya atau entry behavior. Anak yang kursus Matematika sangat menguasai materi aritmatika,” ujar Abdul Gani.
Sumarsono berpendapat, metode belajar Matematika berbeda di sekolah pada umumnya dan di tempat kursus. Di tempat kursus, rasio tutor dan peserta lebih sedikit.
”Relasi serta komunikasi antara tutor dan peserta kursus lebih informal. Lingkungan dan metode belajar juga lebih bervariasi,” ujarnya. (INE)
Sumber: Kompas, Kamis, 23 Oktober 2008 | 01:04 WIB
Keberadaan Kursus Sangat Membantu Siswa
Pembelajaran Matematika di sekolah sangat terbatas sehingga kebutuhan anak terhadap Matematika belum seluruhnya terpenuhi. Keberadaan kursus-kursus Matematika seperti Kumon, Sakamoto, Jarimatika, dan yang lainnya menjadi sarana yang membantu anak belajar.
Seperti diwartakan sebelumnya, semakin banyak berdiri lembaga kursus yang sebagian merupakan waralaba dari negara lain. Lembaga kursus tersebut menawarkan berbagai metode pembelajaran Matematika alternatif, seperti Sakamoto, Kumon, Jarimatika, dan lain-lain.
Ketua Asosiasi Guru Matematika Indonesia, Firman, mengatakan, pola pembelajaran Matematika di sekolah diakui masih kurang menyenangkan bagi anak. Hal itu dikarenakan pembelajaran Matematika di sekolah seolah- olah direduksi hanya persoalan hitung-menghitung.
”Banyak anak yang mengartikan belajar Matematika itu menghafal rumus dan menghitungnya, kemudian selesai. Aktivitas yang bersifat mekanistik tersebut membosankan anak. Padahal, belajar Matematika ialah bagaimana anak dengan informasi yang dia bangun mampu menyelesaikan permasalahan,” ujarnya.
Prinsipnya adalah pembangunan pola pikir anak dalam memecahkan masalah.
Hanya saja, dengan adanya sistem evaluasi yang dibangun pemerintah sekarang, mulai dari ulangan umun, ujian nasional (UN), dan seleksi masuk perguruan tinggi negeri semuanya kemudian mengarah ke pola mekanistis. Guru juga sibuk mempersiapkan murid agar siap menghadapi berbagai ujian tersebut dengan drilling berlatih menjawab soal dengan benar dan cepat.
Abdul Hakim Gani, guru Matematika SMAN 17 Jakarta dan pengajar di sejumlah sekolah swasta, mengatakan hal senada.
Belajar kreatif
Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) sebetulnya memberikan kesempatan kepada pembelajaran kreatif. ”Kesulitannya ialah adanya tuntutan berbagai ujian, sehingga larinya malah ke arah keterampilan. Tuntutan kurikulum malah sulit dipenuhi,” ujarnya.
KTSP yang disusun oleh guru sendiri sebetulnya menawarkan konsep agar anak berkembang menurut tingkat kemampuannya sendiri sehingga dimungkinkan percepatan atau remedial. Terutama remedial yang sangat penting dalam pembelajaran Matematika.
Dia berpendapat, jika anak belajar pada level pengetahuannya, anak tidak akan terlalu takut terhadap Matematika. ”Kalau anak belajar tidak sesuai dengan levelnya, anak ketakutan dan terjadi penumpukan materi yang tidak dikuasai,” katanya.
Sumarsono, guru SMPN 89 Jakarta Barat, berpendapat, belajar Matematika seharusnya diawali dengan pemberian motivasi. Guru, terutama, harus dapat menggambarkan kepada anak didiknya manfaat belajar Matematika dalam kehidupan.
”Saya selalu menekankan kepada para murid, sadar atau tidak, mereka membutuhkan pelajaran tersebut,” ujarnya. Belajar Matematika juga dimulai dengan hal yang mudah dan beranjak ke materi lebih sulit.
Keberadaan kursus
Firman berpendapat, masih perlu diteliti lagi apakah keikutsertaan anak di lembaga kursus yang menyajikan metode Matematika alternatif tersebut berpengaruh kepada prestasi di bidang Matematika.
”Tetapi, berdasarkan pengalaman saya mengajar selama ini di sekolah menengah atas, biasanya anak yang kursus mempunyai keterampilan berhitung sangat baik. Mereka lebih mudah melihat pola-pola dalam belajar Matematika,” ujarnya.
Kelebihan lain dari kemampuan menghitung cepat itu adalah anak cenderung bermotivasi dan bersemangat belajar Matematika. ”Itu karena mereka mampu menyelesaikan soal sulit dalam waktu cepat sehingga muncul rasa percaya diri,” ujarnya.
Hal senada diungkapkan Abdul Gani. ”Biasanya, terlihat perbedaan pada kemampuan awalnya atau entry behavior. Anak yang kursus Matematika sangat menguasai materi aritmatika,” ujar Abdul Gani.
Sumarsono berpendapat, metode belajar Matematika berbeda di sekolah pada umumnya dan di tempat kursus. Di tempat kursus, rasio tutor dan peserta lebih sedikit.
”Relasi serta komunikasi antara tutor dan peserta kursus lebih informal. Lingkungan dan metode belajar juga lebih bervariasi,” ujarnya. (INE)
Sumber: Kompas, Kamis, 23 Oktober 2008 | 01:04 WIB
De Britto EduFair 2008: A Gateway to Bright Future
Salah satu tujuan pendidikan di Sekolah Menengah Atas (SMA) adalah menghantarkan siswa agar mampu melanjutkan pendidikannya ke Perguruan Tinggi (PT). Untuk itu, memberi bekal pengetahuan, informasi, kemandirian, dan nilai-nilai hidup adalah pilihan yang tidak dapat ditawar-tawar.Terdorong oleh keinginan untuk memberikan informasi yang utuh dan mendalam, sekaligus untuk memberi kesempatan PT-PT atau lembaga-lembaga perwakilan asing yang belum berkesempatan memberikan presentasi, maka kegiatan ini dibuat.
Informasi yang jelas, jujur, dan terbuka lembaga pendidikan tinggi, baik negeri maupun swasta; dalam maupun luar negeri serta perwakilan lembaga pendidikan asing akan sangat membantu para siswa dalam menentukan pilihan yang tepat. Informasi ini tentu juga akan bermanfaat bagi siswa-siswa yang masih duduk di kelas X maupun XI karena mereka pun akan menentukan pilihan untuk studi lanjut di kemudian hari. Pun orang tua sebagai pendidik yang utama tentu akan memperoleh informasi yang akurat dalam mendukung pengembangan bakat dan minat putra-putranya.
Yogyakarta adalah kota pelajar. Kegiatan ini juga akan diinformasikan ke SMA/SMK lain yang sangat banyak di kota ini. Sehingga di sisi lain, kegiatan ini juga akan menjadi sarana yang baik untuk mengenalkan lembaga-lembaga pendidikan tinggi dan pihak-pihak lain yang ingin mendukung dan terlibat/berpartisipasi dalam kegiatan ini.
Bentuk Kegiatan
Untuk mendukung pemikiran di atas digagas kegiatan dalam bentuk pameran pendidikan yang selanjutnya disebut dengan ”De Britto Education Fair 2008”. Kegiatan ini secara spesifik diwujudkan dalam:
1. Informasi Jurusan Perguruan Tinggi dan Peluang Kerjanya
2. Pameran Pendidikan Tinggi
Untuk mendukung kegiatan ini, dalam waktu yang sama akan diselenggarakan:
1. Bazar Buku
2. Bazar makanan/minuman
3. Pentas Musik
4. Pameran Majalah Dinding.
Lingkup Kegiatan
Lingkup kegiatan ini dapat dipaparkan sebagai berikut:
1. Informasi tentang jurusan dan strategi belajar di PT berikut peluang kerjanya akan disampaikan oleh nara sumber-nara sumber yang ditunjuk dan dipilih, sharing alumni De Britto yang masih kuliah sesuai dengan jurusannya dan hanya diperuntukkan siswa kelas XII SMA Kolese De Britto secara intern.
2. Informasi dalam Education Fair ditekankan pada bidang studi yang ditawarkan, spesialisasi dan kekhasannya, persyaratan pendaftaran, lama dan biaya studi, juga status akreditasinya. Bentuk Education Fair dapat dilakukan dengan pemberian brosur/prospektus, konsultasi pendidikan, demonstrasi/peragaan alat, dan presentasi dengan jadwal yang sudah disusun.
3. PT/lembaga perwakilan PT asing yang direncakan terlibat dalam kegiatan ini adalah PT negeri/swasta di Yogyakarta, Solo, Semarang, Salatiga, Surabaya, Jakarta – Bogor – Depok – Tangerang - Bekasi (Jabodetabek), dan Bandung (kurang lebih 40 PT/perwakilan PT asing)
4. Education Fair terbuka untuk umum dan akan diinformasikan ke berbagai SMA/SMK se DIY, dan disebarluaskan lewat pamlet, spanduk, media massa baik koran, radio, maupun televisi
5. Bazar buku diperuntukkan bagi lembaga penerbitan yang memiliki referensi tentang strategi belajar di PT dan pendidikan secara umum
6. Bazar makanan/minuman terbuka untuk umum. Diperuntukkan bagi semua pengunjung dan peserta Education Fair, dalam rangka mememenuhi kenyamanan dalam mengunjungi stand-stand pameran
7. Pentas Musik dengan menampilkan band seleksi siswa SMA De Britto, beberapa band SMA di Yogyakarta, dan direncanakan pula mengundang Band ternama, dalam rangka menjaring pengunjung sebanyak-banyaknya.
8. Pameran Majalah Dinding diperuntukkan bagi semua kelas SMA De Britto. Selain untuk mengembangkan bakat siswa, pameran ini juga dimaksudkan untuk menarik pengunjung di luar De Britto.
9. Bazar Tanaman Hias terbuka untuk umum dan bertujuan menarik pengunjung, khususnya kalangan orangtua siswa.
Waktu dan Tempat Penyelenggaraan
1. Informasi jurusan dan peluang kerja
Hari/tanggal : Kamis, 23 Oktober 2008 (intern)
Sabtu, 25-Minggu, 26 Oktober 2008 (umum)
Tempat : Aula SMA Kolese De Britto
Waktu : Pukul 09.00 WIB - selesai.
Bentuk : Ceramah & Sharing
Pemateri : Nara sumber yang ditunjuk
Alumni dari berbagai PT dan disiplin ilmu.
Lingkup : Siswa kelas XII (intern) dan umum
2. Education Fair
Hari/tanggal : Sabtu, 25 s/d Minggu, 26 Oktober 2008
Waktu : Sabtu, Pukul 09.00 – 20.00 WIB
Minggu, Pukul 08.30-17.00 WIB
Tempat : Ruang kelas dan aula SMA De Britto
Peserta : PTN/PTS/Perwakilan lembaga pendidikan asing
(kurang lebih 50 PT)
Lingkup : terbuka untuk umum (SMA/SMK + 50 sekolah)
Selama Education Fair akan diselenggakan presentasi PT dengan tempat dan jadwal yang telah ditentukan.
3. Bazar Buku
Diadakan selama Education Fair dan bertempat di Aula, dengan target peserta kurang lebih 10 penerbit.
4. Bazar Makanan/Minuman
Diadakan selama Education Fair, bertempat di kantin dan halaman sekolah.
5. Pentas Musik
Hari/tanggal : Sabtu, 25 Oktober 2008
Tempat : Panggung Terbuka SMA De Britto
Peserta : Band Siswa SMA De Britto, beberapa Band SMA di Yogyakarta, Band bintang tamu
Lingkup : terbuka untuk umum
6. Pameran Majalah Dinding
Diadakan selama Education Fair, bertempat di depan kelas X, XI IPS dan Bahasa. Peserta adalah siswa SMA De Britto sebanyak 46 mading.
7. Bazar Tanaman Hias
Diadakan selama Education Fair, bertempat di tepi lapangan sepak bola, sebanyak 10 stand, dan diperuntukkan untuk umum.
Jadwal Presentasi
a. Di ruang Rapat
Sesi Hari/Tanggal Waktu
Sabtu, 25 Oktober 2008
1. 11.00 - 12.00
2 12.15 - 13.15
3 13.30 - 14.30
4 14.45 - 15.45
5 16.00 - 17.00
Minggu, 26 Oktober 2008
6 09.30 - 10.30
7 10.45 -11.45
8 12.00 - 13.00
9 13.15 - 14.15
10 14.30 - 15.30
b. Di ruang Perpustakaan
Sesi Hari/Tanggal Waktu
Sabtu, 25 Oktober 2008
1 10.30 - 11.30
2 11.45 - 12.45
3 13.00 - 14.00
4 14.15 - 15.15
5 15.30 - 16.30
Minggu, 26 Oktober 2008
6 10.00 - 11.00
7 11.15 -12.15
8 12.30 - 13.30
9 13.45 - 14.45
10 15.00 - 16.00
Akhirnya, siswa adalah subjek pendidikan. Demikian juga kegiatan ini direncanakan dan diselenggarakan semata-mata untuk siswa. Dengan kegiatan ini diharapkan siswa-siswi di SMA/SMK di Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY) pada umumnya, dan siswa-siswa SMA Kolese De Britto pada khususnya memperoleh bekal pengalaman, informasi yang lengkap, jujur, dan terbuka untuk menentukan pilihan kelanjutan pendidikannya.
Bulan Oktober sampai Januari adalah bulan-bulan yang sungguh tepat untuk membekali siswa dengan informasi tentang pendidikan tinggi. Semakin banyak informasi yang didapatkan tentu akan memperluas kesempatan siswa untuk memilih. Semoga tema yang dipilih sungguh menjadi ispirasi bagi siswa untuk mulai memikirkan kelanjutan pendidikannya. “ A Gateway to Bright Future”.
Lingkup kegiatan ini cukup besar, dengan target 10.000 pengunjung. Untuk itu, kesempatan ini juga bisa dioptimalkan oleh berbagai pihak untuk mendukung kegiatan ini. Dukungan dari banyak pihak tentulah akan membawa kegiatan ini sampai pada tujuan yang diharapkan. Semoga!
PANITIA
DE BRITTO Education Fair 2008
Sekretariat: SMA Kolese De Britto, Jl. Laksda Adisucipto 161 Yogyakarta 55281
Telp. (0274) 518667 Fax. (0274) 547606 Web: www.debritto.yog_sch.net
21 Oktober 2008
Misteri Bilangan Nol
Misteri Bilangan Nol
Oleh: Yusmichad Yusdja
Staf peneliti pada Pusat Penelitian dan Pengembangan Sosial dan ekonomi Pertanian IPB
Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.
Nol, penyebab komputer macet
Pelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa? Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak ada. Mungkinkah 5*0 menjadi tidak ada? (* adalah perkalian). Ide ini membuat orang frustrasi. Apakah nol ahli sulap?
Lebih parah lagi-tentu menambah bingung-mengapa 5+0=5 dan 5*0=5 juga? Memang demikian aturannya, karena nol dalam perkalian merupakan bilangan identitas yang sama dengan 1. Jadi 5*0=5*1. Tetapi, benar juga bahwa 5*0=0. Waw. Bagaimana dengan 5o=1, tetapi 50o=1 juga? Ya, sudahlah. Aturan lain tentang nol yang juga misterius adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun yang tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol.
Bilangan nol: tunawisma
Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa?
Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol? Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh.
Jika di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.
Mudah, tetapi salah
Guru meminta Ani menggambarkan sebuah garis geometrik dari persamaan 3x+7y = 25. Ani berpikir bahwa untuk mendapatkan garis itu diperlukan dua buah titik dari ujung ke ujung. Tetapi, setelah berhitung-hitung, ternyata cuma ada satu titik yang dilewati garis itu, yakni titik A(6, 1), untuk x=6 dan y=1. Sehingga Ani tidak bisa membuat garis itu. Sang guru mengingatkan supaya menggunakan bilangan nol. Ya, itulah jalan keluarnya. Pertama, berikan y=0 diperoleh x=(25-0)/3=8 (dibulatkan), merupakan titik pertama, B(8,0). Selanjutnya berikan x=0 diperoleh y=(25-3.0)/7=4 (dibulatkan), merupakan titik kedua C(0,4). Garis BC, adalah garis yang dicari. Namun, betapa kecewanya sang guru, karena garis itu tidak melalui titik A. Jadi, garis BC itu salah.
Ani membela diri bahwa kesalahan itu sangat kecil dan bisa diabaikan. Guru menyatakan bahwa bukan kecil besarnya kesalahan, tetapi manakah yang benar? Bukankah garis BC itu dapat dibuat melalui titik A? Kata guru, gunakan bilangan nol dengan cara yang benar. Bagaimana kita harus membantu Ani membuat garis yang benar itu? Mudah, kata konsultan Matematika. Mula-mula nilai 25 dalam 3x+7y harus diganti dengan hasil perkalian 3 dan 7 sehingga diperoleh 3x+7y=21.
Selanjutnya, dalam persamaan yang baru, berikan y=0 diperoleh x=21/3=7 (tanpa pembulatan) itulah titik pertama P(6,1). Kemudian berikan nilai x=0 diperoleh y=21/7 = 3 (tanpa pembulatan), itulah titik kedua Q(0, 3). Garis PQ adalah garis yang sejajar dengan garis yang dicari, yakni 3x+7y=25. Melalui titik A tarik garis sejajar dengan PQ diperoleh garis P1Q1. Nah, begitulah. Sang murid telah menemukan garis yang benar berkat bantuan bilangan nol.
Akan tetapi, sang guru masih sangat kecewa karena sebenarnya tidak ada satu garis pun yang benar. Bukankah dalam persamaan 3x1+7x2=25 hanya ada satu titik penyelesaian yakni titik A, yang berarti persamaan 3x1+7x2 itu hanya berbentuk sebuah titik? Bahkan pada persamaan 3x1+7x2=21 tidak ada sebuah titik pun yang berada dalam garis PQ. Oleh karena itu, garis PQ dalam sistem bilangan bulat, sebenarnya tidak ada. Aneh, bilangan nol telah menipu kita. Begitulah kenyataannya, sebuah persamaan tidak selalu berbentuk sebuah garis.
Bergerak, tetapi diam
Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah.
Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka garis bilangan yang kita pakai ternyata tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat... yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, ..., 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2?
Disadur dari: http://www.duniaesai.com/sains/sains16.htm
Oleh: Yusmichad Yusdja
Staf peneliti pada Pusat Penelitian dan Pengembangan Sosial dan ekonomi Pertanian IPB
Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.
Nol, penyebab komputer macet
Pelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa? Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak ada. Mungkinkah 5*0 menjadi tidak ada? (* adalah perkalian). Ide ini membuat orang frustrasi. Apakah nol ahli sulap?
Lebih parah lagi-tentu menambah bingung-mengapa 5+0=5 dan 5*0=5 juga? Memang demikian aturannya, karena nol dalam perkalian merupakan bilangan identitas yang sama dengan 1. Jadi 5*0=5*1. Tetapi, benar juga bahwa 5*0=0. Waw. Bagaimana dengan 5o=1, tetapi 50o=1 juga? Ya, sudahlah. Aturan lain tentang nol yang juga misterius adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun yang tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol.
Bilangan nol: tunawisma
Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa?
Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol? Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh.
Jika di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.
Mudah, tetapi salah
Guru meminta Ani menggambarkan sebuah garis geometrik dari persamaan 3x+7y = 25. Ani berpikir bahwa untuk mendapatkan garis itu diperlukan dua buah titik dari ujung ke ujung. Tetapi, setelah berhitung-hitung, ternyata cuma ada satu titik yang dilewati garis itu, yakni titik A(6, 1), untuk x=6 dan y=1. Sehingga Ani tidak bisa membuat garis itu. Sang guru mengingatkan supaya menggunakan bilangan nol. Ya, itulah jalan keluarnya. Pertama, berikan y=0 diperoleh x=(25-0)/3=8 (dibulatkan), merupakan titik pertama, B(8,0). Selanjutnya berikan x=0 diperoleh y=(25-3.0)/7=4 (dibulatkan), merupakan titik kedua C(0,4). Garis BC, adalah garis yang dicari. Namun, betapa kecewanya sang guru, karena garis itu tidak melalui titik A. Jadi, garis BC itu salah.
Ani membela diri bahwa kesalahan itu sangat kecil dan bisa diabaikan. Guru menyatakan bahwa bukan kecil besarnya kesalahan, tetapi manakah yang benar? Bukankah garis BC itu dapat dibuat melalui titik A? Kata guru, gunakan bilangan nol dengan cara yang benar. Bagaimana kita harus membantu Ani membuat garis yang benar itu? Mudah, kata konsultan Matematika. Mula-mula nilai 25 dalam 3x+7y harus diganti dengan hasil perkalian 3 dan 7 sehingga diperoleh 3x+7y=21.
Selanjutnya, dalam persamaan yang baru, berikan y=0 diperoleh x=21/3=7 (tanpa pembulatan) itulah titik pertama P(6,1). Kemudian berikan nilai x=0 diperoleh y=21/7 = 3 (tanpa pembulatan), itulah titik kedua Q(0, 3). Garis PQ adalah garis yang sejajar dengan garis yang dicari, yakni 3x+7y=25. Melalui titik A tarik garis sejajar dengan PQ diperoleh garis P1Q1. Nah, begitulah. Sang murid telah menemukan garis yang benar berkat bantuan bilangan nol.
Akan tetapi, sang guru masih sangat kecewa karena sebenarnya tidak ada satu garis pun yang benar. Bukankah dalam persamaan 3x1+7x2=25 hanya ada satu titik penyelesaian yakni titik A, yang berarti persamaan 3x1+7x2 itu hanya berbentuk sebuah titik? Bahkan pada persamaan 3x1+7x2=21 tidak ada sebuah titik pun yang berada dalam garis PQ. Oleh karena itu, garis PQ dalam sistem bilangan bulat, sebenarnya tidak ada. Aneh, bilangan nol telah menipu kita. Begitulah kenyataannya, sebuah persamaan tidak selalu berbentuk sebuah garis.
Bergerak, tetapi diam
Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah.
Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka garis bilangan yang kita pakai ternyata tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat... yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, ..., 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2?
Disadur dari: http://www.duniaesai.com/sains/sains16.htm
20 Oktober 2008
Buku Baru: Siap Mengadapi Ujian Nasional 2009
Buku baru matematika: Siap Menghadapi Ujian Nasional 2009 terbitan Grasindo, Jakarta.
Salah satu kegunaan hasil Ujian Nasional adalah sebagai penentu kelulusan peserta didik dari satuan pendidikan. Hal itulah yang sering menjadi kegelisahan dan kekhawatiran para peserta didik. Ketakutan tidak lulus sering dirasakan oleh peserta didik yang akan menempuh Ujian Nasional.
Kegelisahan, kekhawatiran, dan ketakutan akan hasil Ujian Nasional tidak perlu terjadi bila peserta didik mempersiapkan diri sebaik-baiknya. Seri Siap Ujian Nasional 2009 merupakan buku yang tepat untuk mempersiapkan diri dalam menghadapi Ujian Nasional 2009.
Buku ini menyajikan Ringkasan Materi, Contoh Soal dan Pembahasan, Latihan Soal per Bab, Soal Ujian Nasional 2008, dan Prediksi Ujian Nasional 2009.
• Rangkuman Materi disajikan pada setiap pokok bahasan. Dengan rangkuman materi peserta didik diharapkan dapat mengingat kembali materi pelajaran yang akan diujikan.
• Contoh Soal dan Pembahasan disediakan untuk melatih peserta didik dalam
menyelesaikan soal-soal Ujian Nasional sehingga mengetahui strategi penyelesaiannya.
• Latihan Soal per Bab disediakan untuk melatih peserta didik dalam mengerjakan soal-soal sesuai materi-materi dalam Standar Kompetensi (SK) dan Kompetensi Dasar (KD).
• Ujian Nasional 2008 merupakan soal-soal Ujian Nasional 2008.
• Prediksi Ujian Nasional 2009 merupakan gambaran soal yang akan keluar dalam Ujian Nasional 2009.
Selamat berlatih dan selamat meraih kesuksesan dalam Ujian Nasional!
Jakarta, Oktober 2008
Salah satu kegunaan hasil Ujian Nasional adalah sebagai penentu kelulusan peserta didik dari satuan pendidikan. Hal itulah yang sering menjadi kegelisahan dan kekhawatiran para peserta didik. Ketakutan tidak lulus sering dirasakan oleh peserta didik yang akan menempuh Ujian Nasional.
Kegelisahan, kekhawatiran, dan ketakutan akan hasil Ujian Nasional tidak perlu terjadi bila peserta didik mempersiapkan diri sebaik-baiknya. Seri Siap Ujian Nasional 2009 merupakan buku yang tepat untuk mempersiapkan diri dalam menghadapi Ujian Nasional 2009.
Buku ini menyajikan Ringkasan Materi, Contoh Soal dan Pembahasan, Latihan Soal per Bab, Soal Ujian Nasional 2008, dan Prediksi Ujian Nasional 2009.
• Rangkuman Materi disajikan pada setiap pokok bahasan. Dengan rangkuman materi peserta didik diharapkan dapat mengingat kembali materi pelajaran yang akan diujikan.
• Contoh Soal dan Pembahasan disediakan untuk melatih peserta didik dalam
menyelesaikan soal-soal Ujian Nasional sehingga mengetahui strategi penyelesaiannya.
• Latihan Soal per Bab disediakan untuk melatih peserta didik dalam mengerjakan soal-soal sesuai materi-materi dalam Standar Kompetensi (SK) dan Kompetensi Dasar (KD).
• Ujian Nasional 2008 merupakan soal-soal Ujian Nasional 2008.
• Prediksi Ujian Nasional 2009 merupakan gambaran soal yang akan keluar dalam Ujian Nasional 2009.
Selamat berlatih dan selamat meraih kesuksesan dalam Ujian Nasional!
Jakarta, Oktober 2008
Langganan:
Postingan (Atom)