Mesti diingat bahwa matematika itu merupakan bagian dari kebudayaan manusia. Hampir tidak ada kebudayaan, bagaimanapun primitifnya, yang tidak mengandung unsur-unsur matematika (minimal yang paling elementer). Dan sebagai salah satu unsur kebudayaan manusia, matematika juga turut membentuk kepribadian seseorang, meskipun dalam taraf yang berbeda untuk setiap orang. Dengan belajar matematika seseorang sedikit banyak akan terbentuk menjadi orang yang mampu berpikir logis, sistematis dan obyektif.
Untuk menumbuhkan minat terhadap matematika, kita mesti juga mengenali dan melihat manfaat nyata apa yang telah disumbangkan matematika bagi kehidupan manusia. Mungkin selama ini kita tidak menyadari kalau matematika juga telah menyumbangkan banyak hal untuk diri kita. Dengan menggali lagi manfaat dan kegunaan matematika bagi diri kita sendiri, mungkin dalam bentuk yang paling sederhana, misalnya ketika belanja kita tidak tertipu karena matematika telah mengajari kita cara berhitung, dapat menjadi salah satu cara bagi kita untuk mau belajar matematika dengan lebih baik lagi.
Setiap kali kita nongkrong di mall kita melihat banyak angka ajaib bertebaran dimana-mana, bergantungan di atas produk barang tertentu. Mulai dari pakaian, alat-alat rumah tangga, makanan hingga barang elektronik semuanya berhiaskan angka ajaib. Sebagai contoh, harga sepasang sandal jepit 4.900, harga tempat sampah yang terbuat dari plastik 9.900, harga laptop 5.999.000 dan seterusnya.
Tampaknya hal itu wajar-wajar saja, tidak ada yang cukup istimewa, memang begitulah pemandangan sehari-hari di mall-mall kita. Tapi sebentar, bagi yang akrab dengan matematika angka-angka ajaib yang merupakan label harga barang tersebut adalah sebuah jebakan. Mengapa demikian? Sebagai contoh, apa yang ada dipikiran kita ketika kita melihat label harga barang 9.900? Kita cenderung berpikir harga barang itu mendekati harga 9.000 daripada mendekati 10.000, benar bukan?
Padahal dalam matematika kita pernah belajar pembulatan suatu bilangan. 9.900 kalau dibulatkan menurut yang kita pelajari dalam matematika akan dibulatkan ke atas atau hasil pembulatannya 10.000, bukan dibulatkan ke bawah menjadi 9.000. Karena 900 lebih besar dari 500 dan setiap nilai yang lebih besar atau sama dengan 500 dibulatkan ke atas, sedangkan yang kurang dari 500 dibulatkan ke bawah. Inilah yang saya maksud jebakan kalau kita tidak hati-hati.
Kita menganggap uang yang kita belanjakan Rp. 9.000 padahal Rp. 9.900. Belum lagi uang kembaliannya yang cuma seratus rupiah sering tidak dianggap dan dengan rela kita membelanjakanbya untuk sebutir permen yang sebenarnya tidak ingin kita beli. Tanpa sadar sebenarnya, kalau ini mau dianggap untung dan rugi, kita rugi Rp. 1000 hanya lantaran terjebak, karena tidak jeli mengamati label harga barang yang kita beli.
Bayangkan kalau ada sepuluh item barang yang kita beli, maka kita sudah membelanjakan uang Rp. 10.000 yang sebenarnya tidak kita maksudkan untuk dibelanjakan. Belum lagi, kalau pembulatan yang kita lakukan untuk label harga barang yang cukup mahal, dengan pembulatan puluhan ribu atau ratusan ribu tanpa kita pernah sadar.
Matematika dengan pembulatan bilangannya yang sangat sederhana sekali ternyata sebenarnya juga bermanfaat bagi diri kita.
16 September 2010
”Kartini Matematika” dari Rusia
Sofia Kurkovsky Kovalevskaya
[1850-1891]
Kita semua pasti tahu kisahnya Raden Ajeng Kartini dalam memperjuangkan emansipasi wanita di negeri ini, sehingga wanita memiliki kedudukan yang setara dengan laki-laki seperti saat sekarang. Kisah Sofia Kurkovsky Kovalevskaya dengan matematika hampir serupa dengan kisah Kartini. Karena boleh dikata, bidang matematika bahkan hingga saat sekarang cenderung didominasi kaum adam. Sangat jarang sekali ada wanita yang menjadi tokoh ternama di bidang matematika. Dan Sofia Kovalevskaya menjadi salah satu dari yang sangat sedikit itu. Sofia mampu membuktikan kaum hawa pun bisa memberikan kontribusi yang patut diperhitungkan dalam pengembangan ilmu matematika.
Sofia Kurkovsky Kovalevskaya dilahirkan pada tahun 1850 di Rusia dalam lingkungan keluarga bangsawan. Walaupun dia hidup dalam kemewahan dan ketenaran keluarganya, hal ini tidak serta merta membuatnya bahagia. Dia justru tertekan dengan berbagai peraturan ketat yang mengharuskannya menjadi seorang young lady.
Sejak kecil Sofia sudah mulai tertarik pada matematika, yaitu lewat membaca coretan-coretan kalkulus pada dinding kamar milik sang ayah. Minatnya yang besar pada matematika menarik perhatian pamannya dan membuat sang paman banyak mengajarinya berbagai konsep matematika. Di usia 14 tahun, Sofia mempelajari sendiri trigonometri untuk memahami fisika optik dari sebuah buku fisika karangan Tyrtov. Kecerdasannya dalam bidang matematika membuat profesor Tyrtov, penulis yang sekaligus tetangganya itu terkesan dan mendorong ayah Sofia agar menyekolahkan anak itu ke St. Petersburg.
Setelah menyelesaikan pendidikan dasarnya, Sofia berencana untuk melanjutkan pendidikan di bangku kuliah, namun universitas terdekat yang menerima wanita hanya ada di Swiss. Di sisi lain berlaku aturan, seorang wanita muda yang belum menikah dilarang bepergian jauh sendirian. Untuk memecahkan masalah tersebut, Sofia menikah dengan Vladimir Kovalevsky di bulan September 1868. Mereka kemudian menetap di Petersburg lalu pindah ke Heidelberg. Di kota tersebut, nama Sofia cukup tenar karena reputasi akademiknya yang mengagumkan.
Pada tahun 1870, Sofia bersikeras untuk belajar di bawah bimbingan Karl Weierstarss, matematikawan yang ternama dan pemikir metodis yang terkenal dengan teorinya tentang deret fungsi, di Universitas Berlin. Waktu itu, Weierstrass tidak begitu mempedulikan Sofia, sampai setelah ia berhasil mengerjakan beberapa soal darinya. Akhirnya matematikawan Jerman yang pernah gagal meraih gelar sarjana hukum itu, mengakui kejeniusan Sofia. Melihat potensi yang dimiliki Sofia, Weierstrass bersedia mengajari Sofia secara privat, karena pada waktu itu, Universitas Berlin tidak mengijinkan wanita untuk menjadi mahasiswa.
Empat tahun belajar di bawah bimbingan Weierstrass merupakan saat-saat terpenting dalam hidup Sofia dan memberikan pengaruh yang begitu besar terhadap pemahaman serta karirnya di bidang matematika. Pada tahun keempat, Sofia berhasil membuat tiga paper sebagai syarat memperoleh gelar. Salah satu papernya mengenai persamaan diferensial parsial dipublikasikan pada jurnal Crelle. Sebuah penghargaan yang luar biasa untuk seorang matematikawan tak dikenal.
Pada Juli 1874, Sofia berhasil memperoleh gelar Ph.D. dari Universitas Gottingen. Walaupun dia memiliki gelar dan penghargaan yang prestisius serta dukungan penuh dari Weierstrass, Sofia belum bisa mendapatkan pekerjaan yang layak. Setelah vacum cukup lama, Sofia kembali menekuni matematika dengan semangat baru di tahun 1880. Dia mengirimkan sebuah paper pada konferensi sains Abelian Integrals dan diterima dengan sangat baik. Pada tahun 1883, Gosta Mittag-Leffler, salah seorang mantan murid Weierstrass menawari Sofia untuk mengajar di Universitas Stockhlom. Berkat prestasi yang ditunjukkannya, Sofia diangkat sebagai editor jurnal matematika dan pada 1885 ditunjuk sebagai chair of mechanics.
Di tahun 1888, Sofia berhasil memenangkan kompetisi Prix Bordin yang diadakan Akademi Sains Perancis dengan papernya yang berjudul On the Rotation of a Solid Body about a Fixed Point. Pada paper tersebut Sofia mengembangkan sebuah teori mengenai objek tak simetris yang pusat massanya tidak terletak pada sumbu utama objek tersebut. Paper itu mendapat penghargaan yang luar biasa sehinga hadiahnya dinaikkan dari 3.000 franc menjadi 5.000 franc. Pada saat itulah seorang pria bernama Maxim Kovalevsky memasuki kehidupannya menggantikan suaminya yang telah meninggal lebih dari setahun sebelumnya. Maxim datang ke Stockhlom untuk mengajar dan secara tidak sengaja bertemu dengan Sofia. Akhirnya mereka berdua saling jatuh cinta.
Namun pekerjaan menjadi masalah bagi mereka berdua yang sama-sama tidak mau mengalah. Maxim meminta Sofia meninggalkan pekerjaan yang telah diraihnya dengan susah payah untuk ikut bersamanya ke Prancis. Sofia menolak ide tersebut karena dia sangat mencintai pekerjaannya, walaupun dia juga tak ingin kehilangan Maxim. Sebuah kisah cinta klasik antara dua orang ilmuwan. Pada akhirnya, Sofia tinggal di Prancis selama musim panas bersama Maxim yang membuatnya cukup depresi, karena tidak ada pekerjaan yang dia lakukan di sana.
Pada musim gugur 1889, Sofia kembali ke Stockhlom dengan perasaan sedih karena kehilangan Maxim. Depresi ini membuatnya sakit radang paru-paru (pneumonia) hingga ajal menjemputnya pada tanggal 10 Februari 1891. Selama hidupnya, Sofia berhasil mempublikasikan sepuluh paper dalam bidang matematika dan fisika matematika, serta beberapa karya literatur. Kebanyakan papernya merupakan teori-teori dasar yang berperan dalam pengembangan ilmu matematika di masa sesudahnya.
Sofia Krukovsky Kovalevskaya adalah wanita yang luar biasa dengan semangat belajar dan prestasi yang mengagumkan. Dia berhasil membuktikan, wanita mampu sejajar dengan pria dalam bidang sains.
Sofia Kurkovsky Kovalevskaya
[1850-1891]
Kita semua pasti tahu kisahnya Raden Ajeng Kartini dalam memperjuangkan emansipasi wanita di negeri ini, sehingga wanita memiliki kedudukan yang setara dengan laki-laki seperti saat sekarang. Kisah Sofia Kurkovsky Kovalevskaya dengan matematika hampir serupa dengan kisah Kartini. Karena boleh dikata, bidang matematika bahkan hingga saat sekarang cenderung didominasi kaum adam. Sangat jarang sekali ada wanita yang menjadi tokoh ternama di bidang matematika. Dan Sofia Kovalevskaya menjadi salah satu dari yang sangat sedikit itu. Sofia mampu membuktikan kaum hawa pun bisa memberikan kontribusi yang patut diperhitungkan dalam pengembangan ilmu matematika.
Sofia Kurkovsky Kovalevskaya dilahirkan pada tahun 1850 di Rusia dalam lingkungan keluarga bangsawan. Walaupun dia hidup dalam kemewahan dan ketenaran keluarganya, hal ini tidak serta merta membuatnya bahagia. Dia justru tertekan dengan berbagai peraturan ketat yang mengharuskannya menjadi seorang young lady.
Sejak kecil Sofia sudah mulai tertarik pada matematika, yaitu lewat membaca coretan-coretan kalkulus pada dinding kamar milik sang ayah. Minatnya yang besar pada matematika menarik perhatian pamannya dan membuat sang paman banyak mengajarinya berbagai konsep matematika. Di usia 14 tahun, Sofia mempelajari sendiri trigonometri untuk memahami fisika optik dari sebuah buku fisika karangan Tyrtov. Kecerdasannya dalam bidang matematika membuat profesor Tyrtov, penulis yang sekaligus tetangganya itu terkesan dan mendorong ayah Sofia agar menyekolahkan anak itu ke St. Petersburg.
Setelah menyelesaikan pendidikan dasarnya, Sofia berencana untuk melanjutkan pendidikan di bangku kuliah, namun universitas terdekat yang menerima wanita hanya ada di Swiss. Di sisi lain berlaku aturan, seorang wanita muda yang belum menikah dilarang bepergian jauh sendirian. Untuk memecahkan masalah tersebut, Sofia menikah dengan Vladimir Kovalevsky di bulan September 1868. Mereka kemudian menetap di Petersburg lalu pindah ke Heidelberg. Di kota tersebut, nama Sofia cukup tenar karena reputasi akademiknya yang mengagumkan.
Pada tahun 1870, Sofia bersikeras untuk belajar di bawah bimbingan Karl Weierstarss, matematikawan yang ternama dan pemikir metodis yang terkenal dengan teorinya tentang deret fungsi, di Universitas Berlin. Waktu itu, Weierstrass tidak begitu mempedulikan Sofia, sampai setelah ia berhasil mengerjakan beberapa soal darinya. Akhirnya matematikawan Jerman yang pernah gagal meraih gelar sarjana hukum itu, mengakui kejeniusan Sofia. Melihat potensi yang dimiliki Sofia, Weierstrass bersedia mengajari Sofia secara privat, karena pada waktu itu, Universitas Berlin tidak mengijinkan wanita untuk menjadi mahasiswa.
Empat tahun belajar di bawah bimbingan Weierstrass merupakan saat-saat terpenting dalam hidup Sofia dan memberikan pengaruh yang begitu besar terhadap pemahaman serta karirnya di bidang matematika. Pada tahun keempat, Sofia berhasil membuat tiga paper sebagai syarat memperoleh gelar. Salah satu papernya mengenai persamaan diferensial parsial dipublikasikan pada jurnal Crelle. Sebuah penghargaan yang luar biasa untuk seorang matematikawan tak dikenal.
Pada Juli 1874, Sofia berhasil memperoleh gelar Ph.D. dari Universitas Gottingen. Walaupun dia memiliki gelar dan penghargaan yang prestisius serta dukungan penuh dari Weierstrass, Sofia belum bisa mendapatkan pekerjaan yang layak. Setelah vacum cukup lama, Sofia kembali menekuni matematika dengan semangat baru di tahun 1880. Dia mengirimkan sebuah paper pada konferensi sains Abelian Integrals dan diterima dengan sangat baik. Pada tahun 1883, Gosta Mittag-Leffler, salah seorang mantan murid Weierstrass menawari Sofia untuk mengajar di Universitas Stockhlom. Berkat prestasi yang ditunjukkannya, Sofia diangkat sebagai editor jurnal matematika dan pada 1885 ditunjuk sebagai chair of mechanics.
Di tahun 1888, Sofia berhasil memenangkan kompetisi Prix Bordin yang diadakan Akademi Sains Perancis dengan papernya yang berjudul On the Rotation of a Solid Body about a Fixed Point. Pada paper tersebut Sofia mengembangkan sebuah teori mengenai objek tak simetris yang pusat massanya tidak terletak pada sumbu utama objek tersebut. Paper itu mendapat penghargaan yang luar biasa sehinga hadiahnya dinaikkan dari 3.000 franc menjadi 5.000 franc. Pada saat itulah seorang pria bernama Maxim Kovalevsky memasuki kehidupannya menggantikan suaminya yang telah meninggal lebih dari setahun sebelumnya. Maxim datang ke Stockhlom untuk mengajar dan secara tidak sengaja bertemu dengan Sofia. Akhirnya mereka berdua saling jatuh cinta.
Namun pekerjaan menjadi masalah bagi mereka berdua yang sama-sama tidak mau mengalah. Maxim meminta Sofia meninggalkan pekerjaan yang telah diraihnya dengan susah payah untuk ikut bersamanya ke Prancis. Sofia menolak ide tersebut karena dia sangat mencintai pekerjaannya, walaupun dia juga tak ingin kehilangan Maxim. Sebuah kisah cinta klasik antara dua orang ilmuwan. Pada akhirnya, Sofia tinggal di Prancis selama musim panas bersama Maxim yang membuatnya cukup depresi, karena tidak ada pekerjaan yang dia lakukan di sana.
Pada musim gugur 1889, Sofia kembali ke Stockhlom dengan perasaan sedih karena kehilangan Maxim. Depresi ini membuatnya sakit radang paru-paru (pneumonia) hingga ajal menjemputnya pada tanggal 10 Februari 1891. Selama hidupnya, Sofia berhasil mempublikasikan sepuluh paper dalam bidang matematika dan fisika matematika, serta beberapa karya literatur. Kebanyakan papernya merupakan teori-teori dasar yang berperan dalam pengembangan ilmu matematika di masa sesudahnya.
Sofia Krukovsky Kovalevskaya adalah wanita yang luar biasa dengan semangat belajar dan prestasi yang mengagumkan. Dia berhasil membuktikan, wanita mampu sejajar dengan pria dalam bidang sains.
“Si Brilian yang rajin & produktif”
LEONHARD EULER
[1707-1783]
Leonhard Euler lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Ketika umurnya baru mencapai tiga belas tahun, ia sudah diterima masuk di Universitas Basel. Mula-mula dia belajar teologi, tetapi tak lama kemudian dia segera beralih ke bidang matematika. Dia memperoleh gelar sarjana dari Universitas Basel pada umur tujuh belas tahun. Pada umur dua puluh tahun dia menerima undangan dari Catherine I dari Rusia untuk bergabung dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg. Tiga tahun kemudian dia sudah menjadi mahaguru fisika di sana. Umur dua puluh enam tahun dia menggantikan kursi ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang matematikawan terkenal Daniel Bernoulli. Sayangnya, dua tahun kemudian penglihatan matanya hilang sebelah. Namun hal itu tidak menyurutkannya untuk tetap meneruskan kerja dengan kapasitas penuh, dan menghasilkan artikel-artikel yang brilian.
Tahun 1741, Frederick Yang Agung dari Prusia membujuk Euler agar meninggalkan Rusia dan bergabung ke dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di Berlin. Euler mengiyakan dan dia tinggal di Berlin selama dua puluh lima tahun dan baru kembali ke Rusia lagi pada tahun 1766. Tak lama sesudah itu kedua matanya tak bisa melihat lagi. Bahkan dalam keadaan seperti itu, ia tidak pernah menghentikan penyelidikannya. Euler memiliki kemampuan spektakuler dalam hal mental aritmatika, dan hingga dia tutup usia pada tahun 1783 di St. Petersburg pada umur tujuh puluh enam tahun, dia terus mengeluarkan kertas kerja kelas tinggi di bidang matematika.
Hasil kerja Euler di bidang matematika dan ilmiah betul-betul luar biasa dan hampir tak masuk akal. Dia menulis 32 buku lengkap, banyak diantaranya terdiri dari dua jilid, beratus-ratus artikel tentang matematika dan ilmu pengetahuan. Banyak orang bilang, kumpulan tulisan-tulisan ilmiahnya terdiri lebih dari 70 jilid! Kegeniusan Euler memperkaya hampir segala segi matematika murni maupun matematika terapan.
Buah pikiran Euler yang berhamburan tak ada hentinya itu sering menghasilkan titik tolak bagi penemuan matematika baru yang turut membuat seseorang menjadi terkenal. Sebut saja, Joseph Louis Lagrange, ahli fisika matematika Perancis, berhasil merumuskan serentetan rumus (rumus Lagrange) yang punya makna teoritis penting dan dapat digunakan memecahkan berbagai masalah mekanika. Rumus dasarnya ditemukan oleh Euler, karena itu sering disebut rumus Euler-Lagrange. Jean Baptiste Fourier, dia dianggap berjasa dengan penemuan teknik matematikanya, yang dikenal dengan sebutan analisa Fourier. Di sini pun, rumus dasarnya pertama kali ditemukan oleh Leonhard Euler, dan dikenal dengan julukan formula Euler- Fourier.
Dalam urusan matematika, Euler secara khusus tertarik di bidang kalkulus, rumus diferensial, dan deret tak berhingga. Sumbangannya di bidang kalkulus dan teori tentang kompleksitas jumlah menjadi dasar dari semua perkembangan berikutnya di bidang ini.
Formula Euler, menunjukkan adanya hubungan antara fungsi trigonometri dan jumlah imaginer, yang dapat digunakan untuk menemukan logaritma jumlah negatif. Ini merupakan salah satu formula yang paling luas digunakan dalam semua bidang matematika. Euler juga menulis sebuah textbook tentang geometri analitis dan membuat sumbangan penting dalam bidang geometri diferensial dan geometri biasa.
Kendati Euler memiliki kemampuan yang luar biasa dalam penemuan-penemuan matematika terapan yang memungkinkannya melakukan praktek-praktek ilmiah, dia juga memiliki kelebihan hampir setara dalam bidang matematika murni. Eulerlah orang pertama yang memulai bekerja di bidang topologi, sebuah cabang matematika yang punya arti penting di abad ke-20.
Euler memberi sumbangan penting bagi sistem lambang matematika masa kini. Seperti penggunaan huruf Yunani untuk menerangkan rasio antara keliling lingkaran terhadap diameternya (). Dia juga memperkenalkan banyak sistem tanda yang kini umum dipakai di bidang matematika, seperti i simbol untuk bilangan imajiner, dengan , “e” untuk bilangan irasional yang istimewa, yaitu 2,718281….. dan masih banyak lagi yang lain.
LEONHARD EULER
[1707-1783]
Leonhard Euler lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Ketika umurnya baru mencapai tiga belas tahun, ia sudah diterima masuk di Universitas Basel. Mula-mula dia belajar teologi, tetapi tak lama kemudian dia segera beralih ke bidang matematika. Dia memperoleh gelar sarjana dari Universitas Basel pada umur tujuh belas tahun. Pada umur dua puluh tahun dia menerima undangan dari Catherine I dari Rusia untuk bergabung dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg. Tiga tahun kemudian dia sudah menjadi mahaguru fisika di sana. Umur dua puluh enam tahun dia menggantikan kursi ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang matematikawan terkenal Daniel Bernoulli. Sayangnya, dua tahun kemudian penglihatan matanya hilang sebelah. Namun hal itu tidak menyurutkannya untuk tetap meneruskan kerja dengan kapasitas penuh, dan menghasilkan artikel-artikel yang brilian.
Tahun 1741, Frederick Yang Agung dari Prusia membujuk Euler agar meninggalkan Rusia dan bergabung ke dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di Berlin. Euler mengiyakan dan dia tinggal di Berlin selama dua puluh lima tahun dan baru kembali ke Rusia lagi pada tahun 1766. Tak lama sesudah itu kedua matanya tak bisa melihat lagi. Bahkan dalam keadaan seperti itu, ia tidak pernah menghentikan penyelidikannya. Euler memiliki kemampuan spektakuler dalam hal mental aritmatika, dan hingga dia tutup usia pada tahun 1783 di St. Petersburg pada umur tujuh puluh enam tahun, dia terus mengeluarkan kertas kerja kelas tinggi di bidang matematika.
Hasil kerja Euler di bidang matematika dan ilmiah betul-betul luar biasa dan hampir tak masuk akal. Dia menulis 32 buku lengkap, banyak diantaranya terdiri dari dua jilid, beratus-ratus artikel tentang matematika dan ilmu pengetahuan. Banyak orang bilang, kumpulan tulisan-tulisan ilmiahnya terdiri lebih dari 70 jilid! Kegeniusan Euler memperkaya hampir segala segi matematika murni maupun matematika terapan.
Buah pikiran Euler yang berhamburan tak ada hentinya itu sering menghasilkan titik tolak bagi penemuan matematika baru yang turut membuat seseorang menjadi terkenal. Sebut saja, Joseph Louis Lagrange, ahli fisika matematika Perancis, berhasil merumuskan serentetan rumus (rumus Lagrange) yang punya makna teoritis penting dan dapat digunakan memecahkan berbagai masalah mekanika. Rumus dasarnya ditemukan oleh Euler, karena itu sering disebut rumus Euler-Lagrange. Jean Baptiste Fourier, dia dianggap berjasa dengan penemuan teknik matematikanya, yang dikenal dengan sebutan analisa Fourier. Di sini pun, rumus dasarnya pertama kali ditemukan oleh Leonhard Euler, dan dikenal dengan julukan formula Euler- Fourier.
Dalam urusan matematika, Euler secara khusus tertarik di bidang kalkulus, rumus diferensial, dan deret tak berhingga. Sumbangannya di bidang kalkulus dan teori tentang kompleksitas jumlah menjadi dasar dari semua perkembangan berikutnya di bidang ini.
Formula Euler, menunjukkan adanya hubungan antara fungsi trigonometri dan jumlah imaginer, yang dapat digunakan untuk menemukan logaritma jumlah negatif. Ini merupakan salah satu formula yang paling luas digunakan dalam semua bidang matematika. Euler juga menulis sebuah textbook tentang geometri analitis dan membuat sumbangan penting dalam bidang geometri diferensial dan geometri biasa.
Kendati Euler memiliki kemampuan yang luar biasa dalam penemuan-penemuan matematika terapan yang memungkinkannya melakukan praktek-praktek ilmiah, dia juga memiliki kelebihan hampir setara dalam bidang matematika murni. Eulerlah orang pertama yang memulai bekerja di bidang topologi, sebuah cabang matematika yang punya arti penting di abad ke-20.
Euler memberi sumbangan penting bagi sistem lambang matematika masa kini. Seperti penggunaan huruf Yunani untuk menerangkan rasio antara keliling lingkaran terhadap diameternya (). Dia juga memperkenalkan banyak sistem tanda yang kini umum dipakai di bidang matematika, seperti i simbol untuk bilangan imajiner, dengan , “e” untuk bilangan irasional yang istimewa, yaitu 2,718281….. dan masih banyak lagi yang lain.
“Saya Berpikir, Maka Saya Ada”
RENE DESCARTES
[1596-1650]
Mungkin kita sedikit asing dengan Rene Descartes, tapi pasti kita tahu dan bahkan akrab dengan Cartesius. Nama itu sebenarnya selalu kita jumpai bahkan sering terucap dari mulut kita, ketika kita belajar geometri.
Rene Descartes lahir pada tahun 1596. Dia merupakan seorang filosof, ilmuwan, matematikus Perancis yang tersohor. Pada umur 20 tahun, dia sudah memperoleh gelar ahli hukum dari Universitas Poitiers. Sayangnya, ia sama sekali tidak pernah mempraktekkan ilmu hukumnya itu.
Ia memiliki keyakinan tidak ada ilmu apa pun yang bisa dipercaya kecuali matematika. Sehingga, bukannya dia meneruskan pendidikan formalnya di bidang hukum, melainkan malah mengambil keputusan untuk berkelana keliling Eropa dan melihat dunia dengan mata kepalanya sendiri. Selama lebih kurang 12 tahun, dari tahun 1616 hingga 1628, Descartes betul-betul mondar-mandir dari satu negeri ke negeri lain. Dia tiga kali masuk dinas militer yang berbeda-beda (Belanda, Bavaria dan Honggaria), meskipun tampaknya dia tidak pernah ikut bertempur sama sekali. Dikunjunginya pula Italia, Polandia, Denmark dan negeri-negeri lainnya. Dalam tahun-tahun ini, dia menghimpun apa saja yang dianggapnya merupakan metode umum untuk menemukan kebenaran.
Sekitar tahun 1629 ditulisnya Rules for the Direction of the Mind buku yang memberikan garis-garis besar metodenya. Dari tahun 1630 sampai 1634, Descartes menggunakan metodenya dalam penelitian ilmiah. Pada tahun 1637 dia menerbitkan bukunya yang sangat terkenal Discourse on the Method for Properly Guiding the Reason and Finding Truth in the Sciences (biasanya disingkat saja dengan Discourse on Method). Discourse on Method ditulis dalam bahasa Perancis dan bukan bahasa Latin, sehingga semua kalangan intelektual dapat membacanya, termasuk mereka yang tidak memperoleh pendidikan klasik.
Sumbangan Descartes yang paling penting adalah penemuannya tentang geometri analitis. Ini merupakan langkah kemajuan besar di bidang matematika. Sumbangan ini membukakan jalan bagi Newton menemukan Kalkulus.
Mungkin, bagian paling menarik dari Descartes adalah caranya memulai sesuatu. Dari meneliti sejumlah besar pendapat-pendapat yang keliru yang umumnya sudah disepakati orang, Descartes berkesimpulan bahwa untuk mencari kebenaran sejati dia mesti mulai melakukan langkah yang polos, murni dan jernih. Untuk itu, dia mulai dengan cara meragukan apa saja. Meragukan apa saja yang dikatakan gurunya, meragukan kepercayaan, meragukan pendapat umum yang sudah berlaku, meragukan eksistensi alam di luar dunia, bahkan meragukan eksistensinya sendiri. Pokoknya, meragukan segala hal.
Karuan saja ini membuat dia menghadapi masalah yang menghadang: apakah mungkin mengatasi pemecahan atas keraguan yang begitu universal, dan apakah mungkin menemukan pengetahuan yang bisa dipercaya mengenai segala-galanya? Tetapi, lewat alasan-alasan metafisika yang cerdik, dia mampu memuaskan dirinya sendiri bahwa dia sebenarnya "ada" ("Saya berpikir, karena itu saya ada" merupakan argumen terkenal dari Descartes, meski bukanlah pendapatnya yang orisinil), dan Tuhan itu ada serta alam di luar dunia pun ada. Ini merupakan langkah pertama dari teori Descartes.
Tahun 1649 Descartes menerima tawaran bantuan keuangan yang lumayan dari Ratu Christina, agar datang ke Swedia dan menjadi guru pribadinya. Namun Descartes sangat kecewa ketika dia tahu sang Ratu ingin diajar pada jam lima pagi. Dia khawatir udara pagi yang dingin bisa membuatnya mati. Dan ternyata betul, Descartes kena pneumonia, dan meninggal bulan Februari 1650, cuma empat bulan sesudah sampai di Swedia.
RENE DESCARTES
[1596-1650]
Mungkin kita sedikit asing dengan Rene Descartes, tapi pasti kita tahu dan bahkan akrab dengan Cartesius. Nama itu sebenarnya selalu kita jumpai bahkan sering terucap dari mulut kita, ketika kita belajar geometri.
Rene Descartes lahir pada tahun 1596. Dia merupakan seorang filosof, ilmuwan, matematikus Perancis yang tersohor. Pada umur 20 tahun, dia sudah memperoleh gelar ahli hukum dari Universitas Poitiers. Sayangnya, ia sama sekali tidak pernah mempraktekkan ilmu hukumnya itu.
Ia memiliki keyakinan tidak ada ilmu apa pun yang bisa dipercaya kecuali matematika. Sehingga, bukannya dia meneruskan pendidikan formalnya di bidang hukum, melainkan malah mengambil keputusan untuk berkelana keliling Eropa dan melihat dunia dengan mata kepalanya sendiri. Selama lebih kurang 12 tahun, dari tahun 1616 hingga 1628, Descartes betul-betul mondar-mandir dari satu negeri ke negeri lain. Dia tiga kali masuk dinas militer yang berbeda-beda (Belanda, Bavaria dan Honggaria), meskipun tampaknya dia tidak pernah ikut bertempur sama sekali. Dikunjunginya pula Italia, Polandia, Denmark dan negeri-negeri lainnya. Dalam tahun-tahun ini, dia menghimpun apa saja yang dianggapnya merupakan metode umum untuk menemukan kebenaran.
Sekitar tahun 1629 ditulisnya Rules for the Direction of the Mind buku yang memberikan garis-garis besar metodenya. Dari tahun 1630 sampai 1634, Descartes menggunakan metodenya dalam penelitian ilmiah. Pada tahun 1637 dia menerbitkan bukunya yang sangat terkenal Discourse on the Method for Properly Guiding the Reason and Finding Truth in the Sciences (biasanya disingkat saja dengan Discourse on Method). Discourse on Method ditulis dalam bahasa Perancis dan bukan bahasa Latin, sehingga semua kalangan intelektual dapat membacanya, termasuk mereka yang tidak memperoleh pendidikan klasik.
Sumbangan Descartes yang paling penting adalah penemuannya tentang geometri analitis. Ini merupakan langkah kemajuan besar di bidang matematika. Sumbangan ini membukakan jalan bagi Newton menemukan Kalkulus.
Mungkin, bagian paling menarik dari Descartes adalah caranya memulai sesuatu. Dari meneliti sejumlah besar pendapat-pendapat yang keliru yang umumnya sudah disepakati orang, Descartes berkesimpulan bahwa untuk mencari kebenaran sejati dia mesti mulai melakukan langkah yang polos, murni dan jernih. Untuk itu, dia mulai dengan cara meragukan apa saja. Meragukan apa saja yang dikatakan gurunya, meragukan kepercayaan, meragukan pendapat umum yang sudah berlaku, meragukan eksistensi alam di luar dunia, bahkan meragukan eksistensinya sendiri. Pokoknya, meragukan segala hal.
Karuan saja ini membuat dia menghadapi masalah yang menghadang: apakah mungkin mengatasi pemecahan atas keraguan yang begitu universal, dan apakah mungkin menemukan pengetahuan yang bisa dipercaya mengenai segala-galanya? Tetapi, lewat alasan-alasan metafisika yang cerdik, dia mampu memuaskan dirinya sendiri bahwa dia sebenarnya "ada" ("Saya berpikir, karena itu saya ada" merupakan argumen terkenal dari Descartes, meski bukanlah pendapatnya yang orisinil), dan Tuhan itu ada serta alam di luar dunia pun ada. Ini merupakan langkah pertama dari teori Descartes.
Tahun 1649 Descartes menerima tawaran bantuan keuangan yang lumayan dari Ratu Christina, agar datang ke Swedia dan menjadi guru pribadinya. Namun Descartes sangat kecewa ketika dia tahu sang Ratu ingin diajar pada jam lima pagi. Dia khawatir udara pagi yang dingin bisa membuatnya mati. Dan ternyata betul, Descartes kena pneumonia, dan meninggal bulan Februari 1650, cuma empat bulan sesudah sampai di Swedia.
11 September 2010
Tes Mata Anda
Percayakah jika garis-garis horisontal di atas sejajar?
Lihat dan fokus pada titik pusat, lalu maju mundurkan kepala anda. Apa yang terjadi?
Cobalah baca tulisan di atas. Jika belum terbaca pasti anda menderita rabun dekat (he..he. he..)..Cobalah mundur sampai terbaca tulisannya. Tulisan apakah itu?
01 Desember 2009
Paradoks dalam Matematika
Banyak orang menganggap kalau matematika itu ilmu eksak, yang selalu pasti. Seolah tidak pernah terdapat keraguan sama sekali, hanya ada benar atau salah. Untunglah matematika terus berkembang seturut perkembangan peradaban manusia. Sehingga sekarang tidak hanya benar atau salah seperti dalam logika matematika dwi nilai, tapi kebenaran itu relatif. Bisa benar 90%, 50% atau hanya 1 % saja seiring dikembangkannya logika kabur dalam matematika.
Namun sebenarnya sejak awal, para ahli matematika yang biasanya juga ahli filsafat sekaligus ahli-ahli di bidang lainnya sudah menemukan bahwa antara benar dan salah kadang tidak bisa dipisahkan begitu saja, bahwa yang ini benar yang itu salah. Ternyata mereka kadang mendapati bahwa ada sesuatu yang benar sekaligus sesuatu itu salah. Inilah yang dikenal sebagai paradoks.
Paradoks adalah suatu situasi yang timbul dari sejumlah premis yang diakui kebenarannya yang bertolak dari suatu pernyataan dan akan tiba pada suatu kontradiksi. Paradoks juga dikenal dengan nama antinomi karena melanggar hukum kontradiksi principium contradictionis (law of contradiction). Sama seperti dilema, paradoks biasa digunakan untuk mematahkan argumentasi lawan dengan menempatkannya ke dalam situasi yang sulit dan serba salah.
Contoh dari paradoks adalah “Semua laki-laki adalah pembohong!” Para cewek pasti akan mengamini pernyataan di atas, sementara bagi para cowok membaca kalimat di atas mungkin hanya akan tersenyum simpul dengan sorot mata tidak bersalah sambil melenggang pergi.
Ketika saya mengatakan, “Semua laki-laki adalah pembohong!” maka ada sesuatu yang aneh di sana. Mengapa? Sebab saya seorang laki-laki, sehingga apa yang saya katakan bahwa “semua laki-laki adalah pembohong” juga merupakan suatu kebohongan. Artinya semua laki-laki bukan pembohong. Jadi mana yang benar, semua laki-laki adalah pembohong atau semua laki-laki bukan pembohong? Bingung kan?!
Paradoks di atas dikembangkan dari paradoks tertua dan sangat terkenal di dunia yaitu paradoks pembohong (liar paradox) atau Epimenides Paradox yang diungkapkan oleh Epimenides yang hidup diabad 6 sebelum masehi. Paradoks itu aslinya adalah sebagai berikut: ”Epimenides si orang Kreta mengatakan bahwa semua orang Kreta adalah pembohong.”
Rangkaian premis berikut ini akan membawa kita pada dua kesimpulan yang bertentangan:
• Jika apa yang dikatan Epimenides benar, ia bukan pembohong.
• Jika Epimenides bukan pembohong, apa yang dikatakannya tidak benar.
• Jika apa yang dikatakannya tidak benar, ia pembohong.
Kesimpulan pertama: Jadi, ia adalah pembohong dan bukan orang jujur.
• Jika yang dikatakan Epimenides tidak benar, ia adalah pembohong.
• Jika ia pembohong, apa yang dikatakannya tidak benar.
• Jika apa yang dikatakannya tidak benar, itu berarti bahwa ia adalah orang jujur.
Kesimpulan kedua: Jadi, ia adalah orang jujur dan bukan pembohong.
Apa yang dikatakan Epimenides sebenarnya secara bersama-sama sekaligus mengandung kebohongan dan kebenaran. Jika kebohongan, berarti ia benar-benar pembohong, dan jika kebenaran, ia adalah seorang yang jujur.
Paradoks diatas jadi masalah besar, terutama bagi para matematikawan, yang memandang dimana dunia itu adalah salah atau benar dan sebuah pernyatan harus punya nilai jelas antara 0 dan 1 atau True (T) dan False (F).
Paradoks terjadi karena kita mengambil referensi dari diri kita sendiri. Kurt Gödel, di tahun 1931, menjelaskan problema self-reference diatas dalam sebuah teorema yang dikenal dengan nama Godel’s Theorem, yang mengatakan: “To every ω-consistent recursive class χ of formulae there correspond recursive class signs r, such that neither v Gen r nor Neg(v Gen r) belongs to Flg(&chi) (where v is the free variable of r.”)
Teorema Godel sendiri terlihat persis seperti sebuah paradoks juga. Intinya niscaya kita akan bertemu dengan kontradiksi kalau kita melakukan self-reference atau kalaupun kita melakukan self-reference pastikan kalau kita tahu bahwa itu adalah self-reference.
Berikut ini beberapa contoh paradoks sederhana dalam matematika.
1 = 2
Bukti:
Misalkan a = b
maka a2 = ab (kalikan kedua ruas dengan a)
a2 − b2 = ab − b2 (kedua ruas kurangi dengan b2)
(a − b)(a + b) = b(a − b) (kedua ruas difaktorkan)
a + b = b [bagi kedua ruas dengan (a − b)]
2b = b (substitusikan a = b)
2 = 1 (bagi kedua ruas dengan b)
Jadi terbukti 1 = 2!
Pada langkah dimana kita membagi dengan (a−b), sebenarnya kita melakukan pembagian dengan 0, karena a = b, sehingga a − b = 0. Dan dalam matematika pembagian dengan 0 tidak didefinisikan, sehingga bukti di atas yang tampaknya benar dan logis, sesungguhnya salah.
Dalam filosofi moral, paradoks memainkan peranan sentral dalam debat tentang etik. Misalnya, peringatan etis untuk "mencintai tetangga kita" adalah tidak hanya kontras, tetapi juga sangat kontradiktif jika tetangga kita itu bersenjata dan selalu mencoba membunuh kita: bila dia berhasil, kita tidak akan berhasil untuk mencintainya. Tetapi untuk menyerang mereka terlebih dahulu atau menahan mereka biasanya tidak dimengerti sebagai tindakan cinta. Ini dapat disebut sebagai dilema etik. Contoh lainnya, adalah konflik antara perintah untuk tidak mencuri dan untuk memberi perhatian kepada keluarga, yang kita tidak mampu memberi mereka makan tanpa kita mencuri uang.
Lalu buat kita yang bukan matematikawan dan hanya orang awam ini, apa artinya paradoks tersebut? Berhati-hatilah ketika ada orang atau pihak yang mengklaim memiliki kebenaran dan benar 100% sehingga semua yang lain salah. Karena sudah sama-sama kita ketahui dari paradoks bahwa benar dan salah adalah sekaligus sebuah kontradiksi.
Namun sebenarnya sejak awal, para ahli matematika yang biasanya juga ahli filsafat sekaligus ahli-ahli di bidang lainnya sudah menemukan bahwa antara benar dan salah kadang tidak bisa dipisahkan begitu saja, bahwa yang ini benar yang itu salah. Ternyata mereka kadang mendapati bahwa ada sesuatu yang benar sekaligus sesuatu itu salah. Inilah yang dikenal sebagai paradoks.
Paradoks adalah suatu situasi yang timbul dari sejumlah premis yang diakui kebenarannya yang bertolak dari suatu pernyataan dan akan tiba pada suatu kontradiksi. Paradoks juga dikenal dengan nama antinomi karena melanggar hukum kontradiksi principium contradictionis (law of contradiction). Sama seperti dilema, paradoks biasa digunakan untuk mematahkan argumentasi lawan dengan menempatkannya ke dalam situasi yang sulit dan serba salah.
Contoh dari paradoks adalah “Semua laki-laki adalah pembohong!” Para cewek pasti akan mengamini pernyataan di atas, sementara bagi para cowok membaca kalimat di atas mungkin hanya akan tersenyum simpul dengan sorot mata tidak bersalah sambil melenggang pergi.
Ketika saya mengatakan, “Semua laki-laki adalah pembohong!” maka ada sesuatu yang aneh di sana. Mengapa? Sebab saya seorang laki-laki, sehingga apa yang saya katakan bahwa “semua laki-laki adalah pembohong” juga merupakan suatu kebohongan. Artinya semua laki-laki bukan pembohong. Jadi mana yang benar, semua laki-laki adalah pembohong atau semua laki-laki bukan pembohong? Bingung kan?!
Paradoks di atas dikembangkan dari paradoks tertua dan sangat terkenal di dunia yaitu paradoks pembohong (liar paradox) atau Epimenides Paradox yang diungkapkan oleh Epimenides yang hidup diabad 6 sebelum masehi. Paradoks itu aslinya adalah sebagai berikut: ”Epimenides si orang Kreta mengatakan bahwa semua orang Kreta adalah pembohong.”
Rangkaian premis berikut ini akan membawa kita pada dua kesimpulan yang bertentangan:
• Jika apa yang dikatan Epimenides benar, ia bukan pembohong.
• Jika Epimenides bukan pembohong, apa yang dikatakannya tidak benar.
• Jika apa yang dikatakannya tidak benar, ia pembohong.
Kesimpulan pertama: Jadi, ia adalah pembohong dan bukan orang jujur.
• Jika yang dikatakan Epimenides tidak benar, ia adalah pembohong.
• Jika ia pembohong, apa yang dikatakannya tidak benar.
• Jika apa yang dikatakannya tidak benar, itu berarti bahwa ia adalah orang jujur.
Kesimpulan kedua: Jadi, ia adalah orang jujur dan bukan pembohong.
Apa yang dikatakan Epimenides sebenarnya secara bersama-sama sekaligus mengandung kebohongan dan kebenaran. Jika kebohongan, berarti ia benar-benar pembohong, dan jika kebenaran, ia adalah seorang yang jujur.
Paradoks diatas jadi masalah besar, terutama bagi para matematikawan, yang memandang dimana dunia itu adalah salah atau benar dan sebuah pernyatan harus punya nilai jelas antara 0 dan 1 atau True (T) dan False (F).
Paradoks terjadi karena kita mengambil referensi dari diri kita sendiri. Kurt Gödel, di tahun 1931, menjelaskan problema self-reference diatas dalam sebuah teorema yang dikenal dengan nama Godel’s Theorem, yang mengatakan: “To every ω-consistent recursive class χ of formulae there correspond recursive class signs r, such that neither v Gen r nor Neg(v Gen r) belongs to Flg(&chi) (where v is the free variable of r.”)
Teorema Godel sendiri terlihat persis seperti sebuah paradoks juga. Intinya niscaya kita akan bertemu dengan kontradiksi kalau kita melakukan self-reference atau kalaupun kita melakukan self-reference pastikan kalau kita tahu bahwa itu adalah self-reference.
Berikut ini beberapa contoh paradoks sederhana dalam matematika.
1 = 2
Bukti:
Misalkan a = b
maka a2 = ab (kalikan kedua ruas dengan a)
a2 − b2 = ab − b2 (kedua ruas kurangi dengan b2)
(a − b)(a + b) = b(a − b) (kedua ruas difaktorkan)
a + b = b [bagi kedua ruas dengan (a − b)]
2b = b (substitusikan a = b)
2 = 1 (bagi kedua ruas dengan b)
Jadi terbukti 1 = 2!
Pada langkah dimana kita membagi dengan (a−b), sebenarnya kita melakukan pembagian dengan 0, karena a = b, sehingga a − b = 0. Dan dalam matematika pembagian dengan 0 tidak didefinisikan, sehingga bukti di atas yang tampaknya benar dan logis, sesungguhnya salah.
Dalam filosofi moral, paradoks memainkan peranan sentral dalam debat tentang etik. Misalnya, peringatan etis untuk "mencintai tetangga kita" adalah tidak hanya kontras, tetapi juga sangat kontradiktif jika tetangga kita itu bersenjata dan selalu mencoba membunuh kita: bila dia berhasil, kita tidak akan berhasil untuk mencintainya. Tetapi untuk menyerang mereka terlebih dahulu atau menahan mereka biasanya tidak dimengerti sebagai tindakan cinta. Ini dapat disebut sebagai dilema etik. Contoh lainnya, adalah konflik antara perintah untuk tidak mencuri dan untuk memberi perhatian kepada keluarga, yang kita tidak mampu memberi mereka makan tanpa kita mencuri uang.
Lalu buat kita yang bukan matematikawan dan hanya orang awam ini, apa artinya paradoks tersebut? Berhati-hatilah ketika ada orang atau pihak yang mengklaim memiliki kebenaran dan benar 100% sehingga semua yang lain salah. Karena sudah sama-sama kita ketahui dari paradoks bahwa benar dan salah adalah sekaligus sebuah kontradiksi.
09 November 2009
Jangan Pernah Menyerah dengan Matematika
Windy adalah salah satu siswa yang terkenal di kelas matematika selama duduk di bangku SMA. Di kelas sewaktu sekolah, memang ada beberapa siswa yang sangat terkenal dan dikenal oleh guru dan teman-temannya. Biasanya siswa tersebut pinter, jagoan di kelas atau sebaliknya- siswa yang ekstrem satunya, “ngga bisa apa-apa” atau “katrok” bangetlah pinjam istilahnya Tukul Arwana. Dan sayangnya, Windy masuk kategori yang ekstrem kedua, seringkali dianggap ‘nothing’ dalam pelajaran matematika. Setiap habis ulangan bisa dipastikan dia salah satu siswa yang harus mengikuti kelas remedial. Sehingga julukan “Mr. Remidi” melekat padanya.
Apakah Windy, diam dan menyerah begitu saja? Bagi kebanyakan siswa ketika dirinya dianggap “nothing” oleh kebanyakan teman dan gurunya dia biasanya akan menyerah, diam dan tidak melakukan apa-apa, cenderung memandang rendah dirinya sendiri, nggak percaya diri dan lebih percaya kalau dirinya memang nggak bisa apa-apa. Tapi hal itu ternyata tidak untuk Windy! Dia mengakui memang dirinya lemah dalam pelajaran matematika. Dia menyadari dia kurang dalam pelajaran ini. Tapi dia masih punya dua hal, pertama, keyakinan bahwa matematika bisa dipelajarinya, kedua dia memiliki ketekunan. Mungkin dua hal itu, yang tidak dimiliki oleh banyak orang yang menyerah terhadap matematika. Dengan dua hal itu Windy bertahan untuk terus belajar matematika.
Windy yang SD dan SMPnya ditempuh di Papua dan ketika menginjak SMA melanjutkan studi di Yogyakarta itu, memang menyadari benar kemampuannya. Dia tidak malu mengakui bahwa dirinya butuh lebih banyak waktu untuk memahami suatu materi matematika dibanding teman-temannya yang lain. Mungkin sekali dijelaskan, teman-temannya sudah paham. Tapi windy butuh dua atau tiga kali penjelasan untuk materi yang sama. Untunglah, guru matematikanya seorang pastor yang memiliki kesabaran dua atau tiga kali lebih banyak daripada guru matematika biasa dan mau membuka kelas matrikulasi untuk siswa-siswa yang tertinggal dalam pelajaran matematika.
Untuk mengejar ketertinggalannya Windy selalu mengikuti kelas matrikulasi matematika yang diadakan sore hari di sekolahnya. Selain itu, dia juga menyediakan waktu khusus untuk belajar matematika sendiri, entah untuk mengulangi materi atau mengerjakan PR. Jadi bisa dipastikan, Windy adalah salah satu siswa di kelas dan mungkin di sekolahnya yang selalu mengerjakan PR matematika. Meski juga bisa dipastikan dari pekerjaan itu banyak yang salah juga. Tapi dari mengerjakan PR itu, dia sedikit-sedikit tahu kesalahan yang dibuatnya, bisa belajar dari kesalahan-kesalahan yang dibuatnya tersebut dan memperbaiki kesalahan itu lewat mengerjakan ulang PR yang salah itu.
Windy memang “Mr Remidi”, setiap kali ulangan dia memang boleh dikata nilainya hampir selalu dibawah standar ketuntasan belajar. Tapi nilai hasil remidi yang diikutinya pasti selalu diatas tujuh puluh, tak jarang mendekati nilai sempurna. Dan jangan heran, meski jagoan “remidi”, Windy lulus SMA dari jurusan IPA. Kini ia sedang menyelesaikan tugas akhirnya di jurusan Teknik Informatika di salah satu PTS cukup terkenal di Yogyakarta. “Jangan pernah menyerah dengan matematika, meski sesulit apapun. Dia akan memberikan pada kita sesuatu yang memang pantas untuk diperjuangkan. Cara berpikir, bernalar yang benar, berpikir secara logis dan sistematis.” Ungkapnya penuh keyakinan. “Kamu boleh tidak percaya, tapi saya sudah membuktikannya!” Percaya deh…
Apakah Windy, diam dan menyerah begitu saja? Bagi kebanyakan siswa ketika dirinya dianggap “nothing” oleh kebanyakan teman dan gurunya dia biasanya akan menyerah, diam dan tidak melakukan apa-apa, cenderung memandang rendah dirinya sendiri, nggak percaya diri dan lebih percaya kalau dirinya memang nggak bisa apa-apa. Tapi hal itu ternyata tidak untuk Windy! Dia mengakui memang dirinya lemah dalam pelajaran matematika. Dia menyadari dia kurang dalam pelajaran ini. Tapi dia masih punya dua hal, pertama, keyakinan bahwa matematika bisa dipelajarinya, kedua dia memiliki ketekunan. Mungkin dua hal itu, yang tidak dimiliki oleh banyak orang yang menyerah terhadap matematika. Dengan dua hal itu Windy bertahan untuk terus belajar matematika.
Windy yang SD dan SMPnya ditempuh di Papua dan ketika menginjak SMA melanjutkan studi di Yogyakarta itu, memang menyadari benar kemampuannya. Dia tidak malu mengakui bahwa dirinya butuh lebih banyak waktu untuk memahami suatu materi matematika dibanding teman-temannya yang lain. Mungkin sekali dijelaskan, teman-temannya sudah paham. Tapi windy butuh dua atau tiga kali penjelasan untuk materi yang sama. Untunglah, guru matematikanya seorang pastor yang memiliki kesabaran dua atau tiga kali lebih banyak daripada guru matematika biasa dan mau membuka kelas matrikulasi untuk siswa-siswa yang tertinggal dalam pelajaran matematika.
Untuk mengejar ketertinggalannya Windy selalu mengikuti kelas matrikulasi matematika yang diadakan sore hari di sekolahnya. Selain itu, dia juga menyediakan waktu khusus untuk belajar matematika sendiri, entah untuk mengulangi materi atau mengerjakan PR. Jadi bisa dipastikan, Windy adalah salah satu siswa di kelas dan mungkin di sekolahnya yang selalu mengerjakan PR matematika. Meski juga bisa dipastikan dari pekerjaan itu banyak yang salah juga. Tapi dari mengerjakan PR itu, dia sedikit-sedikit tahu kesalahan yang dibuatnya, bisa belajar dari kesalahan-kesalahan yang dibuatnya tersebut dan memperbaiki kesalahan itu lewat mengerjakan ulang PR yang salah itu.
Windy memang “Mr Remidi”, setiap kali ulangan dia memang boleh dikata nilainya hampir selalu dibawah standar ketuntasan belajar. Tapi nilai hasil remidi yang diikutinya pasti selalu diatas tujuh puluh, tak jarang mendekati nilai sempurna. Dan jangan heran, meski jagoan “remidi”, Windy lulus SMA dari jurusan IPA. Kini ia sedang menyelesaikan tugas akhirnya di jurusan Teknik Informatika di salah satu PTS cukup terkenal di Yogyakarta. “Jangan pernah menyerah dengan matematika, meski sesulit apapun. Dia akan memberikan pada kita sesuatu yang memang pantas untuk diperjuangkan. Cara berpikir, bernalar yang benar, berpikir secara logis dan sistematis.” Ungkapnya penuh keyakinan. “Kamu boleh tidak percaya, tapi saya sudah membuktikannya!” Percaya deh…
Berbagi Matematika
Pak Yanto, begitu dia sering disapa, mengakui suka dengan matematika sejak kecil. Dan jika ditanya “mengapa suka matematika?” hingga sekarang dia selalu mengatakan tidak tahu alasannya. “Suka saja!”, begitu ia selalu menjawab. Sewaktu SD matematika adalah pelajaran favoritnya. PR yang selalu dikerjakannya adalah PR matematika. Bahkan ketika tidak ada PR pun dia selalu memaksa ibunya untuk membuatkan soal PR matematika.
Namun, kesukaannya terhadap matematika sempat meredup ketika SMP. Nilai matematikanya tidak cukup memuaskan buat dirinya, meskipun jika dibanding teman-temannya yang lain sebenarnya lebih dari cukup. “Waktu di SMP, guru matematikanya tidak menyenangkan.” kilahnya. Namun demikian, dia tetap belajar matematika meski standar seperti teman-teman lainnya, tidak seperti waktu di SD dulu.
Sewaktu SMA minatnya pada matematika kembali tumbuh. Di sekolah dia dikenal sebagai jago matematika oleh teman-temannya. Setiap pagi, dia selalu menjadi orang yang paling ditunggu di kelasnya. Teman-temannya sudah banyak yang antri untuk melihat dan mencontoh PR atau tugas matematikanya. Kadang malah ada yang pagi-pagi sudah nyamperi kerumahnya. Resikonya, karena “digilir” banyak temannya, kertas pekerjaannya jadi lecek dan tak jarang sobek. Untuk itu kadang dia harus buat tugas yang dikumpul rangkap dua. Maka jangan heran, kalau dia sering terpilih mewakili sekolah untuk mengikuti lomba matematika meski selama SMA itu tak satupun kejuaraan yang dimenanginya. Tapi itu tidak membuatnya surut menyukai matematika. Sebaliknya, hal itu membawanya pada kesadaran bahwa dia belajar matematika untuk tahu, mengerti dan paham tentang konsep matematika dan kalau bisa membagi apa yang diketahuinya itu pada teman-teman lain yang mau belajar matematika, bukan untuk menjadi juara lomba matematika, apalagi sekedar mendapatkan nilai matematika yang baik. Kesadaran baru itu semakin membawanya pada rasa suka yang lebih besar terhadap matematika.
Pada waktu SMA itulah, ia juga berinisiatif mengajari teman-temannya belajar matematika seminggu dua kali untuk persiapan ujian nasional di sekolahnya. Dan hasilnya, semua teman satu kelasnya lulus, meski dia sendiri hanya memperoleh nilai 6,25 untuk pelajaran matematika.
Kecintaannya terhadap matematika membuatnya memilih jurusan pendidikan matematika di salah satu PTS terkemuka di Yogyakarta, sebagai pintu masuknya menjadi guru untuk berbagi matematika dengan banyak orang. Kini ia pun menjadi guru matematika dan berbagi matematika dengan murid-muridnya.
Namun, kesukaannya terhadap matematika sempat meredup ketika SMP. Nilai matematikanya tidak cukup memuaskan buat dirinya, meskipun jika dibanding teman-temannya yang lain sebenarnya lebih dari cukup. “Waktu di SMP, guru matematikanya tidak menyenangkan.” kilahnya. Namun demikian, dia tetap belajar matematika meski standar seperti teman-teman lainnya, tidak seperti waktu di SD dulu.
Sewaktu SMA minatnya pada matematika kembali tumbuh. Di sekolah dia dikenal sebagai jago matematika oleh teman-temannya. Setiap pagi, dia selalu menjadi orang yang paling ditunggu di kelasnya. Teman-temannya sudah banyak yang antri untuk melihat dan mencontoh PR atau tugas matematikanya. Kadang malah ada yang pagi-pagi sudah nyamperi kerumahnya. Resikonya, karena “digilir” banyak temannya, kertas pekerjaannya jadi lecek dan tak jarang sobek. Untuk itu kadang dia harus buat tugas yang dikumpul rangkap dua. Maka jangan heran, kalau dia sering terpilih mewakili sekolah untuk mengikuti lomba matematika meski selama SMA itu tak satupun kejuaraan yang dimenanginya. Tapi itu tidak membuatnya surut menyukai matematika. Sebaliknya, hal itu membawanya pada kesadaran bahwa dia belajar matematika untuk tahu, mengerti dan paham tentang konsep matematika dan kalau bisa membagi apa yang diketahuinya itu pada teman-teman lain yang mau belajar matematika, bukan untuk menjadi juara lomba matematika, apalagi sekedar mendapatkan nilai matematika yang baik. Kesadaran baru itu semakin membawanya pada rasa suka yang lebih besar terhadap matematika.
Pada waktu SMA itulah, ia juga berinisiatif mengajari teman-temannya belajar matematika seminggu dua kali untuk persiapan ujian nasional di sekolahnya. Dan hasilnya, semua teman satu kelasnya lulus, meski dia sendiri hanya memperoleh nilai 6,25 untuk pelajaran matematika.
Kecintaannya terhadap matematika membuatnya memilih jurusan pendidikan matematika di salah satu PTS terkemuka di Yogyakarta, sebagai pintu masuknya menjadi guru untuk berbagi matematika dengan banyak orang. Kini ia pun menjadi guru matematika dan berbagi matematika dengan murid-muridnya.
Langganan:
Postingan (Atom)