Paradoks dalam Matematika

Banyak orang menganggap kalau matematika itu ilmu eksak, yang selalu pasti. Seolah tidak pernah terdapat keraguan sama sekali, hanya ada benar atau salah. Untunglah matematika terus berkembang seturut perkembangan peradaban manusia. Sehingga sekarang tidak hanya benar atau salah seperti dalam logika matematika dwi nilai, tapi kebenaran itu relatif. Bisa benar 90%, 50% atau hanya 1 % saja seiring dikembangkannya logika kabur dalam matematika.
Namun sebenarnya sejak awal, para ahli matematika yang biasanya juga ahli filsafat sekaligus ahli-ahli di bidang lainnya sudah menemukan bahwa antara benar dan salah kadang tidak bisa dipisahkan begitu saja, bahwa yang ini benar yang itu salah. Ternyata mereka kadang mendapati bahwa ada sesuatu yang benar sekaligus sesuatu itu salah. Inilah yang dikenal sebagai paradoks.
Paradoks adalah suatu situasi yang timbul dari sejumlah premis yang diakui kebenarannya yang bertolak dari suatu pernyataan dan akan tiba pada suatu kontradiksi. Paradoks juga dikenal dengan nama antinomi karena melanggar hukum kontradiksi principium contradictionis (law of contradiction). Sama seperti dilema, paradoks biasa digunakan untuk mematahkan argumentasi lawan dengan menempatkannya ke dalam situasi yang sulit dan serba salah.
Contoh dari paradoks adalah “Semua laki-laki adalah pembohong!” Para cewek pasti akan mengamini pernyataan di atas, sementara bagi para cowok membaca kalimat di atas mungkin hanya akan tersenyum simpul dengan sorot mata tidak bersalah sambil melenggang pergi.
Ketika saya mengatakan, “Semua laki-laki adalah pembohong!” maka ada sesuatu yang aneh di sana. Mengapa? Sebab saya seorang laki-laki, sehingga apa yang saya katakan bahwa “semua laki-laki adalah pembohong” juga merupakan suatu kebohongan. Artinya semua laki-laki bukan pembohong. Jadi mana yang benar, semua laki-laki adalah pembohong atau semua laki-laki bukan pembohong? Bingung kan?!

Paradoks di atas dikembangkan dari paradoks tertua dan sangat terkenal di dunia yaitu paradoks pembohong (liar paradox) atau Epimenides Paradox yang diungkapkan oleh Epimenides yang hidup diabad 6 sebelum masehi. Paradoks itu aslinya adalah sebagai berikut: ”Epimenides si orang Kreta mengatakan bahwa semua orang Kreta adalah pembohong.”
Rangkaian premis berikut ini akan membawa kita pada dua kesimpulan yang bertentangan:
• Jika apa yang dikatan Epimenides benar, ia bukan pembohong.
• Jika Epimenides bukan pembohong, apa yang dikatakannya tidak benar.
• Jika apa yang dikatakannya tidak benar, ia pembohong.
Kesimpulan pertama: Jadi, ia adalah pembohong dan bukan orang jujur.
• Jika yang dikatakan Epimenides tidak benar, ia adalah pembohong.
• Jika ia pembohong, apa yang dikatakannya tidak benar.
• Jika apa yang dikatakannya tidak benar, itu berarti bahwa ia adalah orang jujur.
Kesimpulan kedua: Jadi, ia adalah orang jujur dan bukan pembohong.
Apa yang dikatakan Epimenides sebenarnya secara bersama-sama sekaligus mengandung kebohongan dan kebenaran. Jika kebohongan, berarti ia benar-benar pembohong, dan jika kebenaran, ia adalah seorang yang jujur.

Paradoks diatas jadi masalah besar, terutama bagi para matematikawan, yang memandang dimana dunia itu adalah salah atau benar dan sebuah pernyatan harus punya nilai jelas antara 0 dan 1 atau True (T) dan False (F).
Paradoks terjadi karena kita mengambil referensi dari diri kita sendiri. Kurt Gödel, di tahun 1931, menjelaskan problema self-reference diatas dalam sebuah teorema yang dikenal dengan nama Godel’s Theorem, yang mengatakan: “To every ω-consistent recursive class χ of formulae there correspond recursive class signs r, such that neither v Gen r nor Neg(v Gen r) belongs to Flg(&chi) (where v is the free variable of r.”)
Teorema Godel sendiri terlihat persis seperti sebuah paradoks juga. Intinya niscaya kita akan bertemu dengan kontradiksi kalau kita melakukan self-reference atau kalaupun kita melakukan self-reference pastikan kalau kita tahu bahwa itu adalah self-reference.
Berikut ini beberapa contoh paradoks sederhana dalam matematika.
 1 = 2
Bukti:
Misalkan a = b
maka a2 = ab (kalikan kedua ruas dengan a)
a2 − b2 = ab − b2 (kedua ruas kurangi dengan b2)
(a − b)(a + b) = b(a − b) (kedua ruas difaktorkan)
a + b = b [bagi kedua ruas dengan (a − b)]
2b = b (substitusikan a = b)
2 = 1 (bagi kedua ruas dengan b)
Jadi terbukti 1 = 2!

Pada langkah dimana kita membagi dengan (a−b), sebenarnya kita melakukan pembagian dengan 0, karena a = b, sehingga a − b = 0. Dan dalam matematika pembagian dengan 0 tidak didefinisikan, sehingga bukti di atas yang tampaknya benar dan logis, sesungguhnya salah.
Dalam filosofi moral, paradoks memainkan peranan sentral dalam debat tentang etik. Misalnya, peringatan etis untuk "mencintai tetangga kita" adalah tidak hanya kontras, tetapi juga sangat kontradiktif jika tetangga kita itu bersenjata dan selalu mencoba membunuh kita: bila dia berhasil, kita tidak akan berhasil untuk mencintainya. Tetapi untuk menyerang mereka terlebih dahulu atau menahan mereka biasanya tidak dimengerti sebagai tindakan cinta. Ini dapat disebut sebagai dilema etik. Contoh lainnya, adalah konflik antara perintah untuk tidak mencuri dan untuk memberi perhatian kepada keluarga, yang kita tidak mampu memberi mereka makan tanpa kita mencuri uang.
Lalu buat kita yang bukan matematikawan dan hanya orang awam ini, apa artinya paradoks tersebut? Berhati-hatilah ketika ada orang atau pihak yang mengklaim memiliki kebenaran dan benar 100% sehingga semua yang lain salah. Karena sudah sama-sama kita ketahui dari paradoks bahwa benar dan salah adalah sekaligus sebuah kontradiksi.

Jangan Pernah Menyerah dengan Matematika

Windy adalah salah satu siswa yang terkenal di kelas matematika selama duduk di bangku SMA. Di kelas sewaktu sekolah, memang ada beberapa siswa yang sangat terkenal dan dikenal oleh guru dan teman-temannya. Biasanya siswa tersebut pinter, jagoan di kelas atau sebaliknya- siswa yang ekstrem satunya, “ngga bisa apa-apa” atau “katrok” bangetlah pinjam istilahnya Tukul Arwana. Dan sayangnya, Windy masuk kategori yang ekstrem kedua, seringkali dianggap ‘nothing’ dalam pelajaran matematika. Setiap habis ulangan bisa dipastikan dia salah satu siswa yang harus mengikuti kelas remedial. Sehingga julukan “Mr. Remidi” melekat padanya.
Apakah Windy, diam dan menyerah begitu saja? Bagi kebanyakan siswa ketika dirinya dianggap “nothing” oleh kebanyakan teman dan gurunya dia biasanya akan menyerah, diam dan tidak melakukan apa-apa, cenderung memandang rendah dirinya sendiri, nggak percaya diri dan lebih percaya kalau dirinya memang nggak bisa apa-apa. Tapi hal itu ternyata tidak untuk Windy! Dia mengakui memang dirinya lemah dalam pelajaran matematika. Dia menyadari dia kurang dalam pelajaran ini. Tapi dia masih punya dua hal, pertama, keyakinan bahwa matematika bisa dipelajarinya, kedua dia memiliki ketekunan. Mungkin dua hal itu, yang tidak dimiliki oleh banyak orang yang menyerah terhadap matematika. Dengan dua hal itu Windy bertahan untuk terus belajar matematika.


Windy yang SD dan SMPnya ditempuh di Papua dan ketika menginjak SMA melanjutkan studi di Yogyakarta itu, memang menyadari benar kemampuannya. Dia tidak malu mengakui bahwa dirinya butuh lebih banyak waktu untuk memahami suatu materi matematika dibanding teman-temannya yang lain. Mungkin sekali dijelaskan, teman-temannya sudah paham. Tapi windy butuh dua atau tiga kali penjelasan untuk materi yang sama. Untunglah, guru matematikanya seorang pastor yang memiliki kesabaran dua atau tiga kali lebih banyak daripada guru matematika biasa dan mau membuka kelas matrikulasi untuk siswa-siswa yang tertinggal dalam pelajaran matematika.
Untuk mengejar ketertinggalannya Windy selalu mengikuti kelas matrikulasi matematika yang diadakan sore hari di sekolahnya. Selain itu, dia juga menyediakan waktu khusus untuk belajar matematika sendiri, entah untuk mengulangi materi atau mengerjakan PR. Jadi bisa dipastikan, Windy adalah salah satu siswa di kelas dan mungkin di sekolahnya yang selalu mengerjakan PR matematika. Meski juga bisa dipastikan dari pekerjaan itu banyak yang salah juga. Tapi dari mengerjakan PR itu, dia sedikit-sedikit tahu kesalahan yang dibuatnya, bisa belajar dari kesalahan-kesalahan yang dibuatnya tersebut dan memperbaiki kesalahan itu lewat mengerjakan ulang PR yang salah itu.
Windy memang “Mr Remidi”, setiap kali ulangan dia memang boleh dikata nilainya hampir selalu dibawah standar ketuntasan belajar. Tapi nilai hasil remidi yang diikutinya pasti selalu diatas tujuh puluh, tak jarang mendekati nilai sempurna. Dan jangan heran, meski jagoan “remidi”, Windy lulus SMA dari jurusan IPA. Kini ia sedang menyelesaikan tugas akhirnya di jurusan Teknik Informatika di salah satu PTS cukup terkenal di Yogyakarta. “Jangan pernah menyerah dengan matematika, meski sesulit apapun. Dia akan memberikan pada kita sesuatu yang memang pantas untuk diperjuangkan. Cara berpikir, bernalar yang benar, berpikir secara logis dan sistematis.” Ungkapnya penuh keyakinan. “Kamu boleh tidak percaya, tapi saya sudah membuktikannya!” Percaya deh…

Berbagi Matematika

Pak Yanto, begitu dia sering disapa, mengakui suka dengan matematika sejak kecil. Dan jika ditanya “mengapa suka matematika?” hingga sekarang dia selalu mengatakan tidak tahu alasannya. “Suka saja!”, begitu ia selalu menjawab. Sewaktu SD matematika adalah pelajaran favoritnya. PR yang selalu dikerjakannya adalah PR matematika. Bahkan ketika tidak ada PR pun dia selalu memaksa ibunya untuk membuatkan soal PR matematika.
Namun, kesukaannya terhadap matematika sempat meredup ketika SMP. Nilai matematikanya tidak cukup memuaskan buat dirinya, meskipun jika dibanding teman-temannya yang lain sebenarnya lebih dari cukup. “Waktu di SMP, guru matematikanya tidak menyenangkan.” kilahnya. Namun demikian, dia tetap belajar matematika meski standar seperti teman-teman lainnya, tidak seperti waktu di SD dulu.
Sewaktu SMA minatnya pada matematika kembali tumbuh. Di sekolah dia dikenal sebagai jago matematika oleh teman-temannya. Setiap pagi, dia selalu menjadi orang yang paling ditunggu di kelasnya. Teman-temannya sudah banyak yang antri untuk melihat dan mencontoh PR atau tugas matematikanya. Kadang malah ada yang pagi-pagi sudah nyamperi kerumahnya. Resikonya, karena “digilir” banyak temannya, kertas pekerjaannya jadi lecek dan tak jarang sobek. Untuk itu kadang dia harus buat tugas yang dikumpul rangkap dua. Maka jangan heran, kalau dia sering terpilih mewakili sekolah untuk mengikuti lomba matematika meski selama SMA itu tak satupun kejuaraan yang dimenanginya. Tapi itu tidak membuatnya surut menyukai matematika. Sebaliknya, hal itu membawanya pada kesadaran bahwa dia belajar matematika untuk tahu, mengerti dan paham tentang konsep matematika dan kalau bisa membagi apa yang diketahuinya itu pada teman-teman lain yang mau belajar matematika, bukan untuk menjadi juara lomba matematika, apalagi sekedar mendapatkan nilai matematika yang baik. Kesadaran baru itu semakin membawanya pada rasa suka yang lebih besar terhadap matematika.
Pada waktu SMA itulah, ia juga berinisiatif mengajari teman-temannya belajar matematika seminggu dua kali untuk persiapan ujian nasional di sekolahnya. Dan hasilnya, semua teman satu kelasnya lulus, meski dia sendiri hanya memperoleh nilai 6,25 untuk pelajaran matematika.
Kecintaannya terhadap matematika membuatnya memilih jurusan pendidikan matematika di salah satu PTS terkemuka di Yogyakarta, sebagai pintu masuknya menjadi guru untuk berbagi matematika dengan banyak orang. Kini ia pun menjadi guru matematika dan berbagi matematika dengan murid-muridnya.

Sebuah Sisi Lain Mengajarkan Matematika

Seorang teman baik, kolega saya yang pastor - yang menikahkan saya dengan istri dan yang juga membaptis anak saya Lintang Lanang, bercerita tentang sisi lain mengajarkan matematika di suatu tempat di negeri ini.


Pada hari ini, tepatnya tadi siang, saya kembali mengadakan test "mencongak" untuk siswa kelas X. Sebagian hasilnya adalah sbb:
1). 18 : 3 = .... ada 16 siswa menjawab benar (dari 21 orang siswa)
2). 0 + ( - 4 ) = .... 6 siswa menjawab hasilnya = 0, sementara 5 siswa menjawab hasilnya = 4, yang lain benar
3). 1/2 + 1/5 = ..... 11 siswa menjawab hasilnya = 2/7, 7 siswa menjawab hasilnya = 2/10 dan siswa yang lain menjawab benar
4). 10 m - m =.... 18 dari 21 siswa menjawab salah (kebanyakan menjawab hasilnya = 10)

Kepala saya langsung pusing sebelah. Sebelumnya saya juga sudah minta 2 siswa yang lumayan "mletik" untuk mengajari teman-temannya, namun tidak berhasil dan akhirnya dia mogok tidak mau lagi mengajar teman-temannya.

Hari ini juga, saya iseng bertanya kepada ibu guru yang mengajar fisika:
Apakah anak-anak paham dan mengerti ketika ibu menjelaskan perihal teori relativitas, reaktansi, induktansi dll? Ibu itu tidak menjawab dan hanya tersenyum.... getir sekali....

Siang ini juga, ada seorang ibu guru bertanya kepada para siswa di salah satu kelas XI. Dia guru bahasa inggris dan bertanya dalam bahasa Indonesia:
"Pada akhir bulan desember tahun 2008 ini, saya sudah akan genap selama lima semester mengajar. Tahun berapa saya mulai mengajar di SMA ini?”
Jawab seorang anak yang ditunjuk: "tahun 2009 bu guru".
SO WHAT ?????

salam dan doa

"Proof" Sebuah Pembuktian Diri

Sebuah rumah di pojok Chicago. Rumah itu diliputi rumus matematika, berserak angka, ribuan pertanyaan dan penuh perdebatan soal bilangan prima, namun juga terselip sebuah cinta.

Di rumah itu seorang ahli matematika dari Universitas Chicago, Robert (Anthony Hopkins) tinggal bersama putrinya Catherine (Gwyneth Paltrow). Kehidupan Catherine bersama ayah yang telah lama menjadi orang tua tunggal bagi Catherine dan kakaknya Claire (Hope Davis) di Chicago berjalan normal. Namun, kehidupan mereka berubah 180 derajat menyusul penyakit serta obsesi besar Robert terhadap matematika yang membuatnya harus dikucilkan pihak universitas tempatnya mengajar dan mendesak keluarga Robert untuk merawat Robert di Rumah Sakit Jiwa.

Sejak itu, Catherine memutuskan untuk berhenti kuliah dari Universitas Northwestern dan merawat sang ayah yang menolak dirawat di Rumah Sakit Jiwa. Sementara itu, Claire yang beberapa waktu sebelumnya memang telah bekerja dan tinggal di New York memilih jarang pulang dan hanya sesekali melakukan komunikasi dengan sang ayah lewat telpon. Sedangkan Robert semakin tenggelam dengan keasyikannya mencari terobosan baru dalam matematika.


Kondisi ini praktis membuat Catherine semakin terasing dengan lingkungan luar. Ia hanya keluar rumah seperlunya dan tak punya teman kecuali sang ayah. Hari-harinya hanya diisi dengan merawat sang ayah sekaligus mengotak-atik beragam rumus yang merupakan bagian dari pencarian ayahnya untuk menemukan hal baru dalam dunia matematika. Tak heran, obrolan mereka tentang hal-hal kecil sekalipun selalu dikaitkan dengan dunia matematika. Satu malam di tengah butir-butir salju yang turun dan rasa dingin yang menyergap, Robert berhasil menyelesaikan suatu draft rumusan baru dalam Matematika. Draft tersebut tentu saja masih jauh dari sempurna dan harus banyak dilakukan serangkaian pembuktian agar rumusan tersebut bisa menjadi satu temuan yang valid. Robert menyerahkan draft tersebut kepada Catherine dan minta Catherine untuk membacanya.



Oleh Catherine, draft tersebut tak hanya dibaca, tapi juga dipelajari dan diuji dengan beragam formula dan teknik matematika baik yang pernah ia peroleh semasa kuliah maupun lewat beragam buku teori matematika di rumah. Saat yang sama, Robert terus mengerahkan semua pikiran dan waktu untuk menyelesaikan draft tersebut sehingga semakin tak mempedulikan kesehatan dan keadaan fisiknya. Berhari-hari tak mandi adalah "rutinitas" darinya dan Catherine tetap sabar merawat sang ayah.

Tanpa sengaja ada persaingan diam-diam antara ayah dan anak untuk menjadi yang terdepan dalam matematika. Keadaan ini berlangsung selama berbulan-bulan hingga satu malam saat Catherine telah menyelesaikan sebuah tulisan di satu buku catatan, ia dipanggil sang ayah. Ia pun menemuinya dan sekalian bermaksud menyampaikan hasil kerja matematika. Namun melihat Robert yang tampak sumringah dan lebih dulu menyerahkan kepadanya buku catatan yang merupakan kesimpulan sekaligus penyempurnaan dari draft yang pernah ia buat sebelumnya, Catherine mengurungkan niatnya. Catherine pun hanya bisa tercenung melihat catatan sang ayah. Tanpa pernah menunjukkan hasil kerja matematikanya pada sang ayah yang ahli matematika itu.

Tak lama setelah kejadian tersebut, Robert pun menghembuskan nafas terakhir. Kematian Robert meninggalkan banyak kesan bagi keluarga, sahabat, juga muridnya. Salah seorang murid Robert bernama Hal (Jake Gyllenhaal), ahli matematika termuda di universitas tempat Robert mengajar merupakan salah seorang pengagum Robert begitu terobsesi dengan pemikiran-pemikian Robert. Menjelang pemakaman Robert, Hal minta izin kepada Catherine untuk melihat catatan-catatan dan buku-buku Robert. Awalnya, Catherine keberatan, tapi secara perlahan ia pun mengizinkannya dengan syarat tak ada buku atau catatan yang dibawa pulang. Berhari-hari di rumah Robert membuat hubungan Hal dan Catherine semakin dekat.

Selepas pemakaman Robert yang dihadiri banyak orang, tak terkecuali Claire, Catherine memberikan kunci laci meja Robert kepada Hal. Hal pun segera membuka laci tersebut dan menemukan sebuah buku catatan. Begitu membaca dan menyimak isi buku setebal 40 halaman tersebut, Hal melonjak kaget. Menurutnya, buku tersebut memaparkan hal baru dalam dunia matematika dan ini merupakan karya besar. Untuk itu, ia minta izin kepada Catherine dan Claire untuk membawa buku catatan tersebut ke kampus karena ia perlu bantuan senior dan juniornya di kampus untuk mengkaji karya Robert tersebut sebelum dipublikasikan. Claire mengizinkan, tapi tidak dengan Catherine.

Catherine mendadak bersikap keras dan kasar begitu Hal menyebut buku catatan tersebut sebagai karya dan milik Robert. Menurut Catherine, buku tersebut adalah karya dan miliknya bukan karya dan milik Robert. Sikap tersebut kontan saja mengagetkan Hal dan Claire. Bagi mereka berdua, catatan tangan dalam buku tersebut adalah bukti nyata karya Robert dan di sisi lain catatan tangan tersebut jelas-jelas hanya bisa dihasilkan oleh seorang jenius yang telah lama mendalami dunia matematika lantaran yang dikemukan merupakan hal baru alias belum pernah ada sebelumnya. Dan ini artinya dalam kaca mata mereka tidak mungkin dilakukan oleh Catherine.

Lalu, siapa sebenarnya yang menulis buku catatan tersebut?

Catherine pun menghadapi dilema yang semakin berat. Ia mulai kehilangan rasa percaya pada Claire dan juga meragukan ketulusan cinta Hal. Parahnya lagi, Catherine juga semakin tak bisa memahami dirinya sendiri. Ia khawatir depresi yang dialaminya akan berubah menjadi "kegilaan" yang pernah diderita seumur hidup oleh sang ayah.

Di sisi lain Chaterine harus membuktikan bahwa buku catatan itu adalah hasil pemikiran dan kerja kerasnya, bukan milik Robert. Dan tentu ini bukan perkara mudah bagi Catherine yang kuliahnya saja nggak kelar. Namun dengan semangat yang membara untuk membuktikan siapa dirinya yang sesungguhnya, membuat Catherine tidak kenal lelah untuk terus berjuang. Berjuang mengalahkan kerapuhan jiwa dan rasa takut akan bayang-bayang kelam anggota keluarga yang paling dicintainya, demi menemukan jati dirinya yang sejati. Membuktikan siapa dirinya dan melepaskan diri dari bayang-bayang sang ayah yang kampiun matematika.

Dan Catherine memang membuktikan siapa dirinya yang sesungguhnya. Membuktikan kalau dirinya tidak kalah dengan sang ayah. Catherine tidak mau selalu berada di bawah bayang-bayang sang ayah dalam matematika. Kalau Catherine bisa, kita pun juga bisa!

Kini saatnya membuktikan! Melepaskan diri dari bayang-bayang yang menghantui diri kita dalam belajar matematika: rasa tidak percaya diri, selubung terror yang berwujud guru atau teman, dan menguak tabir yang selama ini menyelimuti diri kita: rasa cemas, ketakutan yang tidak beralasan terhadap matematika. Saatnya menunjukkan bahwa diri kita ada bukan nothing dan bisa berprestasi dalam matematika.

Matematika Dalam Film

A Beautiful Mind demikian judul salah satu film yang cukup mengesankan dan inspiratif. Pernah dengar atau lihat judul film ini? Yapp! Film ini diangkat dari kisah nyata John Forbes Nash, seorang ahli matematika yang memenangkan Hadiah Nobel bidang ekonomi pada tahun 1994. Film yang dibintangi Russell Crowe, Ed Harris, Jennifer Connelly, Christopher Plummer, dan Paul Bettany ini menembus puncak Academy Award 2002 dan menyabet predikat best picture.

Kisah dimulai pada tahun 1947, ketika John Forbes Nash (Russell Crowe) menjadi mahasiswa baru di Princeton University. Nash adalah mahasiswa matematika yang sangat brilian tapi gagap dalam pergaulan sosial. Untunglah ada Charles (Paul Bettany), teman sekamarnya, yang membantu John melewati tahun-tahunnya di bangku kuliah.
Dalam salah satu adegan A Beautiful Mind digambarkan saat Nash bersama teman-temannya mengagumi seorang gadis tercantik di antara sekelompok gadis. Karena ada satu gadis cantik, bisa dipastikan kelompok Nash, kelompok para pria, akan berebutan menggaet sang ratu. Tapi Nash muncul dengan pendapat yang mengejutkan para lelaki di kelompok itu.


Kalau berebutan untuk mendapatkan yang tercantik, maka semua pria akan bertabrakan lalu hancur. Sang ratu pun tak mendapatkan pasangan. Kemungkinan kedua, semua pria itu gagal mendapatkan sang ratu lalu memilih wanita-wanita lain di sekelilingnya. Kelompok pria itu tetap gagal karena para wanita bersama wanita tercantik itu tak mau menjadi pilihan kedua. Satu-satunya solusinya, kata Nash, mengabaikan sang ratu cantik itu. Jika ini yang dilakukan maka semua laki-laki akan mendapatkan wanita di sekeliling wanita tercantik sebagai pasangan masing-masing. Kalau ada lima laki-laki di kelompok pria dan lima gadis lain di kelompok sang ratu cantik itu, maka sepuluh orang sudah beruntung. Hanya satu yang rugi, Si Ratu Cantik.

Bisa jadi inilah sebagian kecil ide awal munculnya game theory yang merupakan cabang ilmu matematika terapan dalam bidang ekonomi dan yang mengantarkan Nash merebut hadiah Nobel. Belakangan, game theory banyak dipakai untuk kepentingan mengatur strategi bisnis bahkan politik.
Setelah menemukan teori ekonomi revolusioner yang membalikkan asumsi Adam Smith, bapak ekonomi modern, Nash kemudian diterima di kelompok peneliti elit dan mengajar di MIT. Ilmu pengetahuan telah membuktikan perannya dalam memenangkan Amerika Serikat dalam Perang Dunia II lewat penemuan bom atom, dan kini apa yang bisa dilakukan Nash dalam era Perang Dingin?

Nash diminta untuk menjadi pemecah kode rahasia dan bekerja di bawah supervisi William Parcher (Ed Harris). Dia merasa sang Big Brother Parcher, salah satu orang penting di Pentagon itu, mengajaknya bergabung menjadi agen rahasia AS untuk memecahkan kode rahasia intelijen Rusia. Ia patuh saja saat diperintah untuk mencermati judul semua koran setiap hari karena menurut Big Brother, agen Rusia di AS mengirimkan kabar ke “pihak musuh” itu lewat koran. Maka guntingan koran pun berhamburan di ruang kerjanya. Setiap hari Nash memecahkan kode-kode dari judul-judul berita koran itu.

Tapi tentu saja itu tidak sungguh terjadi dalam dunia nyata. Semua itu hanya terjadi di dunia khayalnya. Ya, Nash memang menderita schizofrenia, dimana ia memiliki dunia lain, dunia yang penuh halusinasi. Dan Parcher hanyalah teman khayalnya. Namun repotnya, tanpa sadar dia mengikuti semua kemauan teman khayalnya itu.
Suatu waktu Ketika dia ditahan oleh psikiater saat memberi ceramah di sebuah kampus, dia langsung menuding orang-orang yang hendak menolongnya itu mata-mata Rusia yang akan membunuhnya. Padahal, tak ada Parcher di dunia nyata, tak ada Pentagon dalam sejarah kerja Nash. Ia bukan agen rahasia dengan tugas khusus memecahkan kode dari setiap judul koran. Semua itu hanya khayalannya belaka. Gila! Nash memang benar-benar gila! Lebih gila lagi, sikap aneh Nash di tempat kerjanya dianggap biasa.

John Forbes Nash memang gila dan gilanya lagi dengan segala pergulatan dan perjuangannya, ia mampu menyembuhkan dirinya sendiri dari penyakit ‘gila’ yang diyakini banyak orang tak ada obatnya itu. Dan lebih gila lagi, sebagai jenius matematika ia memiliki a beautiful mind, something yang mengantarkannya ke kursi kehormatan ilmu pengetahuan di jagad raya ini.

Mungkinkah kita juga bisa memiliki a beautiful mind seperti itu? Tentu saja kita tidak harus menjadi gila terlebih dulu untuk memilikinya. A beautiful mind lahir dari kejernihan pikiran. Dan matematika sebenarnya bisa menuntun dan mengantar kita menuju kejernihan itu. Hanya lewat kejernihan itu kita bisa mengurai berbagai persoalan hingga menemukan solusinya.

Matematika Yang Menyelamatkan Kehidupan

Matematika yang menyelamatkan kehidupan


Apakah kamu kenal dengan Teorema Terakhir Fermat? Tapi pasti tahu dong Teorema Pythagoras? Oke, Teorema Terakhir Fermat itu sebenarnya dikembangkan dari Teorema Pythagoras. Menurut Teorema Pythagoras, ada banyak sekali bilangan bulat x, y, dan z yang memenuhi hubungan x pangkat 2 + y pangkat 2 = z pangkat 2, seperti 3, 4, 5, dan 5, 12, 13, serta 7, 24, 25 dan sebagainya. Nah, Pierre de Fermat (1601 – 1665) mengklaim kalau tidak ada bilangan bulat x, y, dan z yang memenuhi x pangkat n + y pangkat n = z pangkat n, untuk n > 2. Ia pun mengkalim sudah menemukan buktinya. Hanya sayangnya bukti itu tidak pernah didapati dibuku-buku karyanya, sehingga membuat banyak matematikawan yang lain, bahkan matematikawan di abad-abad sesudahnya penasaran dan berusaha membukti-kan teorema Fermat tersebut, tapi tidak ada yang berhasil.


Ingin tahu butuh waktu berapa lama untuk membuktikan teorema Fermat itu? Jangan kaget, butuh 3,5 abad! Ya, butuh waktu 350 tahun untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat tersebut. Nah, cerita berikut berawal dari usaha membuktikan teorema Fermat tersebut pada tahun 1900-an awal.
Di awal tahun 1900-an, Paul Wolfskehl –seorang professor matematika Jerman– telah meluangkan banyak waktu dalam hidupnya untuk membuktikan teorema terakhir fermat, namun tidak berhasil. Rasa frustasi karena tidak juga bisa membuktikan teoremanya Fermat dan ditambah rasa kecewanya karena gagal menjalin cinta dengan perempuan pujaan hatinya, membuat Wolfskehl berniat untuk bunuh diri. Dan karena ia seorang metodis, ia menulis catatan tentang rencana bunuh dirinya yang memuat tanggal dan detail jamnya.
Beberapa saat menjelang waktu yang telah ditentukan untuk bunuh diri, sambil menunggu, ia menggunakan waktu terakhirnya tersebut untuk melihat lagi Teorema Fermat. Wolfskehl kembali dibuat penasaran dan tertarik lagi untuk membuktikan teorema tersebut. Saking asyiknya membuktikan, ia lupa dengan rencananya untuk bunuh diri. Waktu yang telah ditetapkannya pun terlewat begitu saja. Ketika ia ingat kembali dengan rencananya itu, ia kemudian merobek-robek kertas catatan rencana bunuh dirinya.
Sejak itu ia memutuskan memulai hidup baru kembali dengan penuh semangat. Wolfskehl akhirnya meninggal dunia pada tahun 1908. Ia meninggalkan surat wasiat yang isinya menjelaskan bahwa ia menyediakan uang sejumlah 100.000 mark bagi orang pertama yang bisa membuktikan Teorema Terakhir Fermat.
Pada tahun 1997 hadiah Wolfskehl, yang bernilai 50.000 dolar telah dianugerahkan. Dua tahun sebelumnya, di tahun 1995 Dr. Andrew Wiles, seorang matematikawan dari Universitas Princeton, Inggris, akhirnya berhasil membuktikan Teorema Fermat. Ia telah mencurahkan sebagian hidupnya untuk membuktikan Teorema Fermat, dengan menuliskan buktinya sebanyak 200 halaman. Bukti yang cemerlang tersebut banyak menggunakan metode matematika baru dan hasil-hasil perkembangan mutakhir matematika. Atas hasil kerja kerasnya itu, Profesor Wiles juga dinyatakan sebagai pemenang Hadiah Internasional Raja Faisal semilai 200.000 dolar oleh Yayasan Raja Faisal di Arab Saudi.
Kini banyak orang percaya, kalau sebenarnya Fermat sudah punya bukti untuk teoremanya itu, namun mungkin kurang lengkap, sehingga tidak dimuat di buku-bukunya. Sekarang teorema Fermat bukan lagi sekedar dugaan. Setelah lebih dari 350 tahun, akhirnya teorema Fermat benar-benar menjadi teorema.

Matematika Yang Mengubah Dunia

Seringkali matematika yang kita kenal dan yang hadir didepan kita adalah matematika yang penuh rumus, abstrak, teoritis dan kering. Tapi benarkah matematika itu ilmu yang kering dan hanya melulu rumus yang teoritis sekaligus abstrak?

Sebenarnya ada banyak sisi lain matematika yang menarik. Hanya sayang, selama ini kita belum mengenalnya, karena jarang disentuh atau tidak dihadirkan saat kita belajar matematika di sekolah. Ada banyak sisi menarik matematika yang jika digali akan membuat kita kagum dan memberi warna yang berbeda dari matematika yang selama ini kita anggap angker dan menakutkan. Ada bilangan ajaib yang kadang terasa tidak masuk akal, ada permainan yang membuat kita bengong-takjub, cerita-cerita konyol yang mengantar para ilmuwan matematika pada penemuan konsep matematika yang baru, visualisasi grafik bak lukisan yang indah nan menawan dari himpunan atau fungsi tertentu, dan lain sebagainya.



Kita pasti sepakat mengakui kalau matematika itu memang penting bagi kehidupan manusia. Bayangkan, bagaimana dunia sekarang ini seandainya tidak ada matematika? Mungkinkah kita bisa nonton TV, main game di komputer, ngobrol dengan teman lewat telepon atau sms-an dengan hand phone? Bayangkan betapa kacaunya dunia ini seandainya orang tidak mengenal bilangan dan orang tidak bisa menghitung secara sederhana. Apa yang terjadi kalau orang tidak bisa memahami ruang dimana ia berada, tidak bisa memahami harga barang di suatu toko?

Sudah tidak disangsikan lagi, matematika memegang peranan yang cukup penting dalam kehidupan manusia. Banyak yang telah disumbangkan matematika bagi perkembangan peradaban manusia. Kemajuan sains dan teknologi yang begitu pesat dewasa ini tidak lepas dari peranan matematika. Boleh dikatakan landasan utama sains dan teknologi adalah matematika. Tapi apakah sumbangan matematika hanya untuk kemajuan sains dan teknologi saja? Apakah kita tahu kalau matematika juga ikut berperan dalam menentukan arah maupun isi pemikiran-pemikiran filsafat, dalam meruntuhkan dan membangun kembali ajaran-ajaran agama, dalam memberikan jawaban terhadap pertanyaan-pertanyaan mendasar tentang hakekat manusia dan dunianya?

“Segala sesuatu adalah bilangan-bilangan” demikian Pythagoras berfilsafat dengan menggunakan matematika. Mungkin kita akan bingung menafsirkan pernyataan tersebut. Tapi memang demikianlah filsafat, bukan filsafat kalau tidak membingungkan. Memang tampaknya yang diungkapkan Pythagoras tersebut tidak masuk akal, namun yang dia maksudkan bukannya tanpa arti sama sekali. Ia menemukan pentingnya bilangan dalam musik, dan hubungan yang ia bangun antara musik dan matematika terkenal dengan istilah matematika, seperti “nilai rata-rata harmoni” dan “progresi harmoni”.

Pythagoras menganggap bilangan-bilangan sebagai bentuk-bentuk, sebagaimana yang ada pada dadu atau kartu permainan. Kita pun masih mewarisinya hingga sekarang dengan menggunakan istilah seperti bilangan bujur sangkar atau bilangan berpangkat dua dan bilangan kubus untuk bilangan berpangkat tiga, yang tidak lain adalah istilah-istilah yang berasal dari Pythagoras. Ia pun menggunakan istilah bilangan segi empat, bilangan segitiga, bilangan piramida, dan sebagainya. Bilangan-bilangan itu sebetulnya mewakili jumlah batu kerikil yang digunakan untuk menyusun bentuk-bentuk yang bersangkutan.

Nah, rupanya hal tersebut berhubungan dengan pandangan Pythagoras bahwa dunia ini bersifat atomis, dan menganggap tubuh terbentuk dari molekul-molekul yang terdiri dari atom-atom yang tersusun dalam berbagai bentuk. Dalam hal ini ia ingin aritmatika sebagai bidang studi yang menjadi dasar dalam ilmu fisika maupun estetika.

Penemuan terpenting dari Pythagoras adalah apa yang sudah sangat kita kenal dan sering kita gunakan dalam segitiga siku-siku yaitu Dalil Pythagoras. Jumlah kuadrat sisi-sisi yang membentuk sudut siku-siku sama dengan kuadrat sisi miringnya, demikian isi dalil yang terkenal tersebut. Tapi bak buah simalakama, dalil tersebut sekaligus menjadi titik tolak ditemukannya dalil ketaksebandingan, yang mementahkan kembali seluruh filsafat Pythagoras. Karena teori aritmatika tidak cukup memadai mengenai ketaksebandingan, maka hal ini semakin meyakinkan para ahli matematika ketika itu, bahwa geometri harus disusun secara terpisah dengan aritmatika.

Dan sejak itu geometri mempunyai pengaruh yang besar terhadap filsafat dan metode ilmiah. Penalaran deduktif aksiomatis menjadi kunci utama dalam memahami pengetahuan. Ini membawa konsekuensi, Matematika tidak lagi mempelajari obyek-obyek yang secara langsung dapat ditangkap oleh indera manusia. Substansi matematika adalah benda-benda pikir yang bersifat abstrak. Dan jadilah matematika murni mendominasi.

Sebagai contoh, geometri berurusan dengan lingkaran-lingkaran eksak, bagaimanapun cermatnya kita menggambar dengan menggunakan jangka, tetap akan ada kekurangsempurnaan dan ketidakteraturan. Ini membuktikan pandangan bahwa semua penalaran eksak hanya berkenaan dengan obyek-obyek ideal yang berbeda dengan obyek inderawi. Lebih jauh ini membawa pada pandangan dalam filsafat bahwa pikiran lebih utama daripada indera, dan obyek-obyek pikiran lebih nyata ketimbang obyek-obyek persepsi inderawi.

Doktrin-doktrin mistik yang menyangkut hubungan antara waktu dan keabadian pun mendapat dukungan dari matematika murni, obyek-obyek matematika, seperti bilangan-bilangan, andaikata nyata sekalipun, sifatnya tetap abadi dan tidak lekang oleh waktu. Obyek-obyek abadi demikian dikonsepsikan sebagai pikiran Tuhan. Maka jangan heran jika muncul doktrin Plato bahwa Tuhan adalah ahli geometri. Agama rasionalistik yang berbeda dengan agama apokaliptik, semenjak Pythagoras, dan terutama semenjak Plato, telah sepenuhnya didominasi oleh matematika dan metode matematis.

Kombinasi matematika dan teologi, yang bermula dari Pythagoras, telah menanamkan ciri pada filsafat yang bercorak religius di Yunani, di Abad Pertengahan dan jaman modern hingga Immanuel Kant. Tetapi mulai era Plato dan Descartes terjadilah perpaduan yang mendalam antara agama dan penalaran, antara aspirasi moral dan sikap logika yang memuliakan segala yang baka. Hal ini tidak lepas dari pengaruh dominasi matematika murni kala itu.

Nah, sekarang percaya khan kalau matematika itu juga ikut berperan dalam menentukan arah maupun isi pemikiran-pemikiran filsafat, dalam meruntuhkan dan sekaligus membangun kembali ajaran-ajaran agama?!